Rotació al voltant d’un eix fix

S’estira l’extrem d’una corda d’una bobina d’eix fix amb una força de 15 N. La massa de la bobina és de 4 kg i té un radi de 33 cm. S’observa que la bobina s’accelera uniformement des del repòs fins adquirir una velocitat de 30 rad/s en 3 s. Calcula el moment d’inèrcia de la bobina.

Dades del problema

Tenim una bobina amb les característiques següents:

• Força aplicada: $F = 15 \text{ N}$
• Massa de la bobina: $m = 4 \text{ kg}$
• Radi de la bobina: $r = 33 \text{ cm} = 0.33 \text{ m}$
• Velocitat angular final: $\omega_f = 30 \text{ rad/s}$
• Temps en arribar a la velocitat final: $t = 3 \text{ s}$
• Condició inicial: $\omega_0 = 0 \text{ rad/s} \quad (\text{repòs inicial})$

a) Càlcul de l’acceleració angular
L’acceleració angular $\alpha$ es determina utilitzant la relació cinemàtica:

\begin{equation}
\alpha = \frac{\omega_f – \omega_0}{t}
\end{equation}

Substituint els valors:

\begin{equation}
\alpha = \frac{30 – 0}{3} = 10 \text{ rad/s}^2
\end{equation}

b) Càlcul del moment d’inèrcia
El moment de força aplicat a la bobina és:

\begin{equation}
\tau = r F
\end{equation}

\begin{equation}
\tau = (0.33)(15) = 4.95 \text{ N·m}
\end{equation}

Utilitzant la segona llei de la dinàmica de rotació:

\begin{equation}
\tau = I \alpha
\end{equation}

Aïllant $I$:

\begin{equation}
I = \frac{\tau}{\alpha}
\end{equation}

\begin{equation}
I = \frac{4.95}{10} = 0.495 \text{ kg·m}^2
\end{equation}

Resultat final

El moment d’inèrcia de la bobina és:

\begin{equation}\boxed{I = 0.495 \text{ kg·m}^2}\end{equation}