Demostració de la fórmula per a la distància d’un punt a una recta paral·lela a un vector

Demostreu que la distancia d’un punt P a una recta paral·lela a un vector $A$ que passa per un punt $Q$ és: $d = |B\times A|/|A|$, on $B$ és el vector que va del punt $P$ al $Q$. Apliqueu aquest resultat per calcular la distància del punt $P = (4, 5, -7)$ a la recta que passa pel punt $Q = (-3, 6, 12)$ i és paral·lela al vector $A = 4i – j + 3k$.

Per calcular la distància d’un punt $P$ a una recta que és paral·lela a un vector $\mathbf{A}$ i passa pel punt $Q$, utilitzarem un enfocament vectorial.

\begin{equation}
\mathbf{r}(t) = \mathbf{Q} + t \mathbf{A}
\end{equation}

on $t$ és un paràmetre que varia al llarg de la recta.

El vector $\mathbf{B}$ va del punt $P$ al punt $Q$. Així que el vector $\mathbf{B}$ és:

\begin{equation}
\mathbf{B} = \mathbf{P} – \mathbf{Q}
\end{equation}

La distància $d$ entre el punt $P$ i la recta és la distància perpendicular entre el punt $P$ i la recta que passa per $Q$ i és paral·lela a $\mathbf{A}$. Aquesta distància es pot calcular mitjançant el producte vectorial, perquè la distància perpendicular es pot expressar com:

\begin{equation}
d = \frac{| \mathbf{B} \times \mathbf{A} |}{|\mathbf{A}|}
\end{equation}

On:

• $\mathbf{B}$ és el vector entre el punt $P$ i el punt $Q$,
• $\mathbf{A}$ és el vector que defineix la direcció de la recta,
• $\mathbf{B} \times \mathbf{A}$ és el producte vectorial entre $\mathbf{B}$ i $\mathbf{A}$,
• $|\mathbf{A}|$ és la norma del vector $\mathbf{A}$.

Ara calculem els valors per al punt $P = (4, 5, -7)$, el punt $Q = (-3, 6, 12)$, i el vector $\mathbf{A} = 4i – j + 3k$:

\begin{equation}
\mathbf{B} = \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (4, 5, -7) – (-3, 6, 12) = (7, -1, -19)
\end{equation}

El producte vectorial entre $\mathbf{B} = (7, -1, -19)$ i $\mathbf{A} = (4, -1, 3)$ es calcula com:

\begin{equation}
\mathbf{B} \times \mathbf{A} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 7 & -1 & -19 \ 4 & -1 & 3 \end{vmatrix}
\end{equation}

Després de calcular el determinat, obtenim:

\begin{equation}
\mathbf{B} \times \mathbf{A} = (-22, -97, -3)
\end{equation}

Ara calculem la norma de $\mathbf{B} \times \mathbf{A}$:

\begin{equation}
|\mathbf{B} \times \mathbf{A}| = \sqrt{(-22)^2 + (-97)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9902} \approx 99.51
\end{equation}

Finalment, calculem la norma de $\mathbf{A}$:

\begin{equation}
|\mathbf{A}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{26} \approx 5.10
\end{equation}

Finalment, calculem la distància $d$:

\begin{equation}
d = \frac{|\mathbf{B} \times \mathbf{A}|}{|\mathbf{A}|} = \frac{99.51}{5.10} \approx 19.5
\end{equation}

La distància del punt $P = (4, 5, -7)$ a la recta que passa pel punt $Q = (-3, 6, 12)$ i és paral·lela al vector $\mathbf{A} = 4i – j + 3k$ és aproximadament $19.5$ unitats.