Sistema sifó transport aigua

En la figura es representa un sistema de sifó utilitzat per transportar aigua des d’una alberca. La canonada del sistema posseeix un diàmetre interior de $40$ mm i termina en una tobera de $25$ mm de diàmetre. Si suposem que en el sistema no hi ha pèrdua d’energia en forma de calor, calculem el flux volumètric a través del sifó i la pressió en els punts $B$ i $E$.

Per poder trobar la velocitat en cada punt mencionat, es fa servir l’equació de Bernoulli, però per a això es necessita conèixer a priori les pressions en cada punt o a l’evacuació. Com no es coneixen les pressions en els punts B, C, D, Y, E, no es pot implantar l’equació de Bernoulli en aquests punts, per se coneixen la pressió tant en el punt A com a la sortida de la tobera de la canonada, el qual serà la pressió atmosfèrica (\(P_a\)) i que estan obertes a la atmosfera. Denominant com a punt F a la tobera de sortida de la canonada i tenint en compte que l’equació de Bernoulli aplicada a aquests punts és:

\(P_A + \rho g h_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = P_F + \rho g h_F + \frac{1}{2} \rho v_F^2\)

On \(v_A = 0\) perquè el estany té un àrea transversal més gran que la canonada. Per l’altre costat es considerarà com origen del punt F i tenint en compte que \(h_F = 0\), es pot obtenir la velocitat de sortida:

\(P_0 + \rho g h_A = P_0 + \frac{1}{2} \rho v_F^2\)\(\rho g h_A = \frac{1}{2} \rho v_F^2\)\(v_F = \sqrt{2 g h_A} = \sqrt{2 \cdot 9.81 [m/s^2] \cdot 3 [m]} = 7.672 [m/s]\)

Llavors, considerant l’aigua com un fluid incompressible i tenint en compte que el cabal en el punt Y i F ha de ser igual:

\(Q_E = Q_F\)\(v_E \cdot A_E = v_F \cdot A_F\)\(v_E = v_F \cdot \frac{A_F}{A_E}\)\(v_E = v_F \cdot \frac{D_F^2}{D_E^2} = 7.672 [m/s] \cdot \left(\frac{25 [mm]}{40 [mm]}\right)^2 = 2.997 [m/s]\)

Finalment, com l’àrea transversal en B, C, D és igual a l’area E es té que les velocitats en aquests punts són iguals que en el punt E.

\(v_B = v_C = v_D = v_E = 2.997 [m/s]\)

Donat que ara es tenen les velocitats per a tots els punts, es podrà trobar les pressions per als punts B, C, D i E. Bernoulli entre A i B:

\(P_A + \rho g h_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = P_B + \rho g h_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2\)\(P_0 = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2\)\(P_B = P_0 – \frac{1}{2} \rho v_B^2 = -\frac{1}{2} \cdot 1000 \left[\frac{kg}{m^3}\right] \cdot (2.997 [m/s])^2 = -4494 [Pa]\)

Bernoulli entre B i C:

\(P_B + \rho g h_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 = P_C + \rho g h_C + \frac{1}{2} \rho v_C^2\)\(P_B + \rho g (h_B – h_C) = P_C\)\(P_C = -4494 [Pa] + 1000 \left[\frac{kg}{m^3}\right] \cdot 9.81 \left[\frac{m}{s^2}\right] \cdot (3 – 4.2) [m] = -16266 [Pa]\)

Donat que la velocitat en B i en D és igual, es tindrà que la pressió només variarà per efecte de la diferència d’altura i com ambdós punts tenen la mateixa altura es té que la pressió en D és igual a la de B.\(P_D = P_B = -4494 [Pa]\)*

Bernoulli entre D i E:

\(P_D + \rho g h_D + \frac{1}{2} \rho v_D^2 = P_E + \rho g h_E + \frac{1}{2} \rho v_E^2\)\(P_E = P_D + \rho g h_D\)\(P_E = -4494 + 1000 \left[\frac{kg}{m^3}\right] \cdot 9.81 \left[\frac{m}{s^2}\right] \cdot 3 [m] = 24939 [Pa]\)