Càlcul de la recta paral·lela a un pla amb angle de 30º respecte a un altre pla

Determina la recta $r$ que és paral·lela al pla $\pi: x – z = 3$, forma $30$º amb el pla $\pi’: z = -2$ i passa pel punt $A(0, 3, 5)$.

Els vectors normals als plans donats són $\vec{n}\pi = (1, 0, -1)$ i $\vec{n}{\pi’} = (0, 0, 1)$.
Es calcula un vector director de la recta $r$: $\vec{u}_r = (a, b, c)$.

• Per ser $r$ paral·lela a $\pi$ és: $\vec{u}r \perp \vec{n}\pi \Rightarrow \vec{u}r \cdot \vec{n}\pi = 0 \Rightarrow a – c = 0 \Rightarrow a = c$
• Per formar 30º amb $\pi’$: $\text{sen}(\vec{u}r, \vec{n}{\pi’}) = \frac{|\vec{u}r \cdot \vec{n}{\pi’}|}{|\vec{u}r||\vec{n}{\pi’}|} \cdot |c| = 1 \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow c = \pm \frac{1}{2} = a$

Com $\vec{u}_r$ s’ha escollit unitari, resulta $a^2 + b^2 + c^2 = 1 \Rightarrow b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

1a recta: $$\vec{u}_r = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2} \right) \Rightarrow r: \frac{x}{2} = \frac{y – 3}{\sqrt{2}} = \frac{z – 5}{2} \Rightarrow 2x = \sqrt{2}(y – 3) = 2(z – 5)$$

2a recta: $$\vec{u}_r = \left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{2} \right) \Rightarrow r: \frac{x}{-\frac{1}{2}} = \frac{y – 3}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{z – 5}{-\frac{1}{2}} \Rightarrow -2x = \sqrt{2}(y – 3) = -2(z – 5)$$