Projecció d’una recta sobre un pla

Donat $\pi: x + y + z – 3 = 0$

a) Trobar la projecció de la recta $r: (x, y, z) = \lambda (0, 2, 1)$ sobre $\pi$.

b) Donada la recta $s: (x, y, z) = (1, 0, 0) + t(-2, b, c)$, trobar els valors de $b$ i $c$ perquè la projecció de $s$ sobre $\pi$ sigui un punt. Quin és aquest punt?

Part A

Per trobar la recta $r’ = \text{proy}_\pi(r)$, busquem dos punts que pertanyin a $r’$.

Un dels punts pot ser el d’intersecció:

$$2\lambda + \lambda – 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 1 \Rightarrow (x, y, z) = (0, 2, 1)$$

Prenem el punt $(0, 0, 0) \in r$. Per projectar-lo sobre el pla, busquem la recta perpendicular al pla que passa per $(0, 0, 0)$:

$$(x, y, z) = (0, 0, 0) + \alpha (1, 1, 1)$$

$$(x, y, z) = \alpha (1, 1, 1)$$

Substituint a l’equació del pla:

$$\alpha + \alpha + \alpha – 3 = 0 \Rightarrow \alpha = 1$$

Llavors, la projecció del punt $(0, 0, 0)$ sobre $\pi$ dóna $(1, 1, 1)$.

La recta $r’$ queda definida pels punts $(0, 2, 1)$ i $(1, 1, 1)$:

$$r’: (x, y, z) = (0, 2, 1) + \gamma (1, -1, 0)$$

Part B

Perquè la projecció de $s$ sobre $\pi$ sigui un punt, el vector director de $s$ ha de ser paral·lel al vector normal del pla. Ha d’existir un $k \in \mathbb{R}$ tal que:

$$(1, 1, 1) = k(-2, b, c)$$

D’aquí deduïm que han de ser $b = c = -2$. L’equació de la recta queda:

$$s: (x, y, z) = (1, 0, 0) + t(-2, -2, -2)$$

Per trobar el punt, substituïm les equacions paramètriques de la recta a l’equació del pla:

$$s: \left{ \begin{array}{c} x = 1 – 2t \ y = -2t \ z = -2t \end{array} \right., \quad t \in \mathbb{R}, \quad \pi: x + y + z – 3 = 0$$

$$1 – 2t – 2t – 2t – 3 = 0 \Rightarrow -2 – 6t = 0 \Rightarrow t = -\frac{1}{3}$$

El punt és:

$$P\left( \frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)$$

Per tant:

$$\text{proy}_\pi(s) = s \cap \pi = P\left( \frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)$$