Paral·lelisme i Projecció de Rectes en Plans

Siguin les rectes: $$L_1: \begin{cases} x = 1 \\ y + z = 0 \end{cases}$$ i la recta $L_2$ que passa pels punts $P(1, k, 0)$ i $Q(1, 1, 4)$.

a) Trobar, si és possible, el valor real de $k$ tal que les rectes siguin paral·leles. Després, calcular la distància entre elles.

b) Per a $k = 0$, trobar una equació del pla $\pi$ que contingui la recta $L_2$ i que sigui perpendicular al pla coordenat $yz$.

a) Trobar el valor de $k$ perquè $L_1$ i $L_2$ siguin paral·leles i calcular la distància entre elles

Primer, analitzem les rectes:

• Recta $L_1$:
  L’equació $x = 1, \, y + z = 0$ es pot reescriure com $z = -y$. Les equacions paramètriques són:
  $$x = 1, \quad y = t, \quad z = -t \quad \text{(amb ( t \in \mathbb{R} ))}.$$
  El vector director de $L_1$ és $\vec{v}_1 = (0, 1, -1)$.
• Recta $L_2$:
  Passa pels punts $P(1, k, 0)$ i $Q(1, 1, 4)$. El vector director de $L_2$ és:
  $$\vec{v}_2 = Q – P = (1 – 1, 1 – k, 4 – 0) = (0, 1 – k, 4).$$
  Les equacions paramètriques de $L_2$ són:
  $$(x, y, z) = (1, k, 0) + s(0, 1 – k, 4) \quad \text{(amb ( s \in \mathbb{R} ))},$$
  és a dir:
  $$x = 1, \quad y = k + s(1 – k), \quad z = 4s.$$

Condició de paral·lelisme:
Perquè $L_1$ i $L_2$ siguin paral·leles, els seus vectors directors han de ser proporcionals, és a dir, ha d’existir un $\lambda \in \mathbb{R}$ tal que:
$$\vec{v}_1 = \lambda \vec{v}_2 \quad \Rightarrow \quad (0, 1, -1) = \lambda (0, 1 – k, 4).$$
Això implica:

• Primera component: $0 = \lambda \cdot 0$, que es compleix sempre.
• Segona component: $1 = \lambda (1 – k)$.
• Tercera component: $-1 = \lambda \cdot 4$.

De la tercera equació:
$$\lambda \cdot 4 = -1 \quad \Rightarrow \quad \lambda = -\frac{1}{4}.$$
Substituint $\lambda = -\frac{1}{4}$ a la segona equació:
$$1 = \left(-\frac{1}{4}\right)(1 – k) \quad \Rightarrow \quad 1 = -\frac{1}{4} + \frac{k}{4} \quad \Rightarrow \quad 1 + \frac{1}{4} = \frac{k}{4} \quad \Rightarrow \quad \frac{5}{4} = \frac{k}{4} \quad \Rightarrow \quad k = 5.$$
Per tant, les rectes són paral·leles quan $k = 5$.

Distància entre les rectes (amb $k = 5$):
Substituint $k = 5$ a $L_2$, el vector director de $L_2$ és:
$$\vec{v}_2 = (0, 1 – 5, 4) = (0, -4, 4).$$
Comprovem la proporcionalitat:
$$(0, 1, -1) \quad \text{i} \quad (0, -4, 4).$$
La relació entre les components $1$ i $-4$ (segona component) i $-1$ i $4$ (tercera component) és:
$$\frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}, \quad \frac{-1}{4} = -\frac{1}{4},$$
així que són proporcionals i les rectes són paral·leles.

Per calcular la distància, prenem un punt de cada recta:

• De $L_1$: $A(1, 0, 0)$ (quan $t = 0$).
• De $L_2$: $P(1, 5, 0)$ (quan $s = 0$, amb $k = 5$).

El vector $\vec{AP} = P – A = (1 – 1, 5 – 0, 0 – 0) = (0, 5, 0)$.
La distància entre dues rectes paral·leles es calcula com:
$$d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}_1|}{|\vec{v}_1|}.$$
Calculem el producte vectorial:
$$\vec{AP} \times \vec{v}_1 = (0, 5, 0) \times (0, 1, -1) = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
0 & 5 & 0 \\
0 & 1 & -1
\end{vmatrix} = \mathbf{i}(5 \cdot (-1) – 0 \cdot 1) – \mathbf{j}(0 \cdot (-1) – 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(0 \cdot 1 – 5 \cdot 0) = (-5, 0, 0).$$
El mòdul és:
$$|\vec{AP} \times \vec{v}_1| = |(-5, 0, 0)| = 5.$$
El mòdul del vector director:
$$|\vec{v}_1| = |(0, 1, -1)| = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}.$$
La distància és:
$$d = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}.$$

b) Per $k = 0$, trobar l’equació del pla $\pi$ que conté $L_2$ i és perpendicular al pla $yz$

Amb $k = 0$, la recta $L_2$ passa pels punts $P(1, 0, 0)$ i $Q(1, 1, 4)$. El vector director de $L_2$ és:
$$\vec{v}2 = (0, 1, 4).$$

El pla coordenat $yz$ té equació $x = 0$, i el seu vector normal és $\vec{n}{yz} = (1, 0, 0)$.

Condició de perpendicularitat:
El pla $\pi$ ha de ser perpendicular al pla $yz$, per tant, el vector normal de $\pi$, $\vec{n}\pi$, ha de ser perpendicular a $\vec{n}{yz}$. Si $\vec{n}\pi = (a, b, c)$, llavors: $$\vec{n}\pi \cdot \vec{n}{yz} = 0 \quad \Rightarrow \quad (a, b, c) \cdot (1, 0, 0) = a = 0.$$

Així, $\vec{n}\pi = (0, b, c)$.

Condició que $\pi$ contingui $L_2$:
El vector director de $L_2$, $\vec{v}2 = (0, 1, 4)$, ha de ser perpendicular a $\vec{n}\pi$:
$$\vec{v}2 \cdot \vec{n}\pi = 0 \quad \Rightarrow \quad (0, 1, 4) \cdot (0, b, c) = b + 4c = 0 \quad \Rightarrow \quad b = -4c.$$
Per tant, $\vec{n}\pi = (0, -4c, c)$. Si escollim $c = 1$, llavors: $$\vec{n}\pi = (0, -4, 1).$$

Equació del pla $\pi$:
El pla $\pi$ passa pel punt $P(1, 0, 0)$ i té vector normal $(0, -4, 1)$. L’equació del pla és:
$$0(x – 1) – 4(y – 0) + 1(z – 0) = 0 \quad \Rightarrow \quad -4y + z = 0 \quad \Rightarrow \quad z = 4y.$$

Resposta final:

a) Les rectes són paral·leles quan $k = 5$, i la distància entre elles és $\displaystyle\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
b) L’equació del pla $\pi$ és $z = 4y$.