Matriu associada a una transformació lineal en una base

Siguin $B = {a, b, c}$ una base de l’espai vectorial $V$ i $T: V \to \mathbb{R}^2$ una transformació lineal tal que: $$T(x_1 a + x_2 b + x_3 c) = (2x_1 – x_2 + 4x_3, x_1 – x_3)$$, amb $x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{R}$.

a) Calcular la matriu associada a la transformació lineal $T$ en la base $B$ i la base canònica de $\mathbb{R}^2$.

b) Indicar, justificant la resposta, si la transformació lineal és un isomorfisme.

a) Calcular la matriu associada a la transformació lineal $T$ en la base $B$ i la base canònica de $\mathbb{R}^2$

La transformació lineal $T: V \to \mathbb{R}^2$ està definida com:
$$T(x_1 a + x_2 b + x_3 c) = (2x_1 – x_2 + 4x_3, x_1 – x_3),$$
on ${a, b, c}$ és una base de $V$, per tant, $V$ té dimensió 3 (ja que té una base amb 3 vectors). A $\mathbb{R}^2$, utilitzem la base canònica ${(1, 0), (0, 1)}$.

Per trobar la matriu associada a $T$ en la base $B$ de $V$ i la base canònica de $\mathbb{R}^2$, hem d’aplicar $T$ a cada vector de la base $B$ i expressar els resultats en la base canònica de $\mathbb{R}^2$. La matriu tindrà les coordenades d’aquests resultats com a columnes.

• $T(a)$:
  Prenem $a$ com $1 \cdot a + 0 \cdot b + 0 \cdot c$, és a dir, $(x_1, x_2, x_3) = (1, 0, 0)$.
  $$T(a) = T(1 \cdot a + 0 \cdot b + 0 \cdot c) = (2 \cdot 1 – 0 + 4 \cdot 0, 1 – 0) = (2, 1).$$
• $T(b)$:
  Prenem $b$ com $0 \cdot a + 1 \cdot b + 0 \cdot c$, és a dir, $(x_1, x_2, x_3) = (0, 1, 0)$.
  $$T(b) = T(0 \cdot a + 1 \cdot b + 0 \cdot c) = (2 \cdot 0 – 1 + 4 \cdot 0, 0 – 0) = (-1, 0).$$
• $T(c)$:
  Prenem $c$ com $0 \cdot a + 0 \cdot b + 1 \cdot c$, és a dir, $(x_1, x_2, x_3) = (0, 0, 1)$.
  $$T(c) = T(0 \cdot a + 0 \cdot b + 1 \cdot c) = (2 \cdot 0 – 0 + 4 \cdot 1, 0 – 1) = (4, -1).$$

Ara, expressem $T(a)$, $T(b)$ i $T(c)$ en la base canònica de $\mathbb{R}^2$. Com ja estan en forma de coordenades $(y_1, y_2)$, les columnes de la matriu són simplement aquests resultats. La matriu associada a $T$ és:
$$[T]_B = \begin{pmatrix}
T(a) & T(b) & T(c)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & -1 & 4 \\
1 & 0 & -1
\end{pmatrix}.$$
Aquesta matriu té dimensió $2 \times 3$, ja que $T$ va de $V$ (dimensió $3$) a $\mathbb{R}^2$ (dimensió $2$).

b) Indicar, justificant la resposta, si la transformació lineal és un isomorfisme

Un isomorfisme entre espais vectorials requereix que la transformació sigui bijectiva (injectiva i exhaustiva) i que els espais tinguin la mateixa dimensió.

• Dimensions:
  La dimensió de $V$ és $3$ (ja que $B = {a, b, c}$) i la dimensió de $\mathbb{R}^2$ és $2$. Com que $3 \neq 2$, $T$ no pot ser un isomorfisme, ja que un isomorfisme requereix que els espais tinguin la mateixa dimensió.

Tot i això, per completar l’anàlisi, comprovem si $T$ és injectiva i exhaustiva:

• Injectivitat:
  Una transformació lineal és injectiva si el seu nucli és trivial, és a dir, $\text{ker}(T) = {0}$. Calculem el nucli de $T$:
  $$T(x_1 a + x_2 b + x_3 c) = (0, 0) \quad \Rightarrow \quad (2x_1 – x_2 + 4x_3, x_1 – x_3) = (0, 0).$$
  Això ens dóna el sistema:
  $$\begin{cases}
  2x_1 – x_2 + 4x_3 = 0, \\
  x_1 – x_3 = 0.
  \end{cases}$$
  De la segona equació: $x_1 = x_3$. Substituint a la primera equació:
  $$2x_1 – x_2 + 4x_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 6x_1 – x_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 6x_1.$$
  Substituint $x_3 = x_1$, tenim:
  $$(x_1, x_2, x_3) = (x_1, 6x_1, x_1) = x_1(1, 6, 1).$$
  El nucli és:
  $$\text{ker}(T) = { x_1(1, 6, 1) \mid x_1 \in \mathbb{R} },$$
  que té dimensió $1$ (és una recta). Com que $\text{ker}(T) \neq {0}$, $T$ no és injectiva.
• Exhaustivitat:
  Una transformació lineal és exhaustiva si $\text{Im}(T) = \mathbb{R}^2$. La imatge de $T$ està generada per les columnes de la matriu $[T]_B$:
  $$\begin{pmatrix}
  2 & -1 & 4 \\
  1 & 0 & -1
  \end{pmatrix}.$$
  Per determinar la dimensió de la imatge, calculem el rang de la matriu. Reduïm per files:
• Fila 2 $\to$ Fila 2 – Fila 1/2:
  $$\begin{pmatrix}
  2 & -1 & 4 \\
  1 – \frac{2}{2} & 0 – \frac{-1}{2} & -1 – \frac{4}{2}
  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
  2 & -1 & 4 \\
  0 & \frac{1}{2} & -3
  \end{pmatrix}.$$
  Hi ha 2 files no nul·les, per tant, el rang és 2, i $\text{dim}(\text{Im}(T)) = 2$. Com que $\text{dim}(\mathbb{R}^2) = 2$, $T$ és exhaustiva.

Conclusió:
Tot i que $T$ és exhaustiva, no és injectiva i, a més, les dimensions de $V$ (3) i $\mathbb{R}^2$ (2) són diferents. Per tant, $T$ no és un isomorfisme.

Resposta final:

a) La matriu associada a $T$ en la base $B$ i la base canònica de $\mathbb{R}^2$ és:
$$\begin{pmatrix}
2 & -1 & 4 \\
1 & 0 & -1
\end{pmatrix}.$$
b) La transformació $T$ no és un isomorfisme perquè $\text{dim}(V) = 3 \neq 2 = \text{dim}(\mathbb{R}^2)$, i a més no és injectiva (el nucli no és trivial).