Flux que circula per una canonada

Un flux d’aigua circula per la canonada de la figura sortint per la secció $S_B$ a l’atmosfera amb un cabal de 6 l/min. ¿Quantes són: a) La velocitat de sortida de l’aigua. b) La pressió en A essent les seccions $S_A = 10 \, \text{cm}^2$ i $S_B = 1 \, \text{cm}^2$?

a) Es defineix el cabal com:

\[C_a = S \cdot v\]

aplicant la definició de cabal amb:

\[C_a = 6 \, \text{l/min} = 6 \, \text{dm}^3/\text{min} \times \frac{1 \, \text{m}^3}{1000 \, \text{dm}^3} \times \frac{1}{60 \, \text{s}} = 10^{-4} \, \text{m}^3/\text{s}\]\[S_a = 1 \, \text{cm}^2 = 10^{-4} \, \text{m}^2\]

Obtenim la velocitat de sortida del líquid per la canonada: \[v_a = \frac{C_a}{S_a} = \frac{10^{-4}}{10^{-4}} = 1 \, \text{m/s}\]

b) Calculem la velocitat del líquid en A. Suposant el líquid incompressible \[v_a = \frac{C_a}{S_a} = \frac{10^{-4}}{10 \cdot 10^{-4}} = 0.01 \, \text{m/s}\]Aplicant el teorema de Bernoulli entre A i B es té:\[P_a + \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_a^2 + \rho \cdot g \cdot h_a = P_b + \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_b^2 + \rho \cdot g \cdot h_b\]amb\[\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 \quad h_b – h_a = 1.0 \, \text{m}\]\[P_b = 760 \, \text{mm Hg} = 0.76 \, \text{m} \times 13600 \, \text{kg/m}^3 \cdot 9.8 \, \text{m/s}^2 = 1.01 \cdot 10^5 \, \text{N/m}^2\] Aïllant \(P_a\):\[P_a = P_b + \frac{1}{2} \cdot \rho (v_b^2 – v_a^2) + \rho \cdot g (h_b – h_a)\]\[P_a = 1.01 \cdot 10^5 + \frac{1}{2} \cdot 1000 (1^2 – 0.01^2) + 1000 \cdot 9.8 \cdot 10\]\[P_a = 1.01 \cdot 10^5 + 495 + 98000\]\[P_a = 1.99 \cdot 10^5 \, \text{N/m}^2\]