Sistema molla-massa-politja

Per una politja fixa hi passa una corda de massa negligible que té un extrem lligat a terra a través d’una molla de constant de força $k = 250$ N/m i, a l’altre, un cos de massa $m = 2$ kg, tal com es mostra a la figura 1.12. La massa i el radi de la politja són, respectivament, $M = 3$ kg i $R = 0.12$ m, i la corda, en el seu moviment, arrossega la politja sense relliscar. Determineu el període de les oscil·lacions que farà el sistema si el traiem de l’equilibri.

Tal com s’assenyala a la figura 1.13 (a), en la situació d’equilibri la molla ja ha d’estar estirada respecte de la seva longitud natural, ja que ha de compensar el pes $mg$ del cos. Si anomenem $x_0$ l’allargament inicial de la molla, en l’equilibri del sistema es compleix que:

\begin{equation}
k x_0 = mg
\end{equation}

ja que la tensió $F$ que equilibra el cos és la mateixa que actua en ambdós costats de la politja i la que estira la molla.

D’altra banda, prenguem com a origen de la $x$, posició vertical del cos, el punt d’equilibri anterior, amb el sentit positiu cap avall. Un cop el sistema està oscil·lant, tenim:

• Sobre el cos actuen el pes $mg$ i la tensió $F_1$ que, per la segona llei de Newton, donen: \begin{equation} mg – F_1 = m \frac{d^2x}{dt^2} \end{equation} on $a = \frac{d^2x}{dt^2}$ és l’acceleració del cos, positiva si és cap avall i negativa si és cap amunt.
• Sobre la politja actuen les dues tensions \( F_1 \) i \( F_2 \). La politja gira amb una certa acceleració angular \( \alpha \) perquè aquestes tensions són diferents. En efecte, si calculem els moments de les tensions \( F_1 \) i \( F_2 \) respecte del centre de la politja, i \( I \) n’és el moment d’inèrcia respecte del seu centre, la segona llei de Newton per a les rotacions ens diu que:

\begin{equation}R F_1 – R F_2 = I \frac{d^2\theta}{dt^2}\end{equation}

on hem pres, per als moments, \( \frac{d^2\theta}{dt^2} = \alpha \), com a positiu el sentit antihorari.

La corda que lliga el cos amb la molla a través de la politja és inextensible; per tant, la $x$ que baixa el cos és l’allargament de la molla. Aleshores, obtindrem que:

\begin{equation}
F_2 = k(x_0 + x)
\end{equation}

Fins ara tenim quatre incògnites —les dues tensions i les dues acceleracions, $a$ i $\alpha$— i tres equacions. Ara només ens falta una relació entre l’acceleració lineal $a$ del cos i l’acceleració angular $\alpha$ de la politja. Com que l’enunciat ens assegura que la corda arrossega perfectament la politja sense que rellisqui per sobre d’ella, llavors l’acceleració de la corda, que és la mateixa que la del cos, $a$, és la mateixa que la lineal de la perifèria de la politja, és a dir, $R\alpha$. Per tant:

\begin{equation}
R \frac{d^2\theta}{dt^2} = \frac{d^2x}{dt^2}
\end{equation}

Substituint ara $F_1$ de (2), $F_2$ de (4) i $\alpha$ de (5) en (3), i considerant la relació (1), arribem a l’equació:

\begin{equation}
\frac{d^2x}{dt^2} + \left( \frac{k}{m + I/R^2} \right) x = 0
\end{equation}

d’on resulta ( \omega ). Si ara considerem la politja com un cilindre homogeni de radi ( R ), aleshores el moment d’inèrcia valdrà ( I = \frac{MR^2}{2} ). Per tant, podem concloure finalment que:

\begin{equation}
T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m + I/R^2}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{2m + M}{2k}}
\end{equation}

Substituint els valors numèrics, en resulta:

\begin{equation}
T = 0,7434 \text{ s}
\end{equation}