Pèndol físic amb molla

Tenim un pèndol físic que consisteix en una barra homogènia de longitud $L = 1$ m i de massa $m = 1$ kg, penjada del sostre per un extrem. Per tal d’escurçar el període d’aquest pèndol, unim el centre de la barra a una molla horitzontal. Quina constant de força $k$ ha de tenir la molla si volem que el període del sistema pèndol-molla sigui la meitat que el del pèndol sol?

Per resoldre aquest problema, cal determinar primer el període del pèndol físic i després el del sistema combinat de pèndol i molla.

1. Període del pèndol físic

El període $T_p$ d’un pèndol físic ve donat per la fórmula: $$T_p = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$$

on:

• $I$ és el moment d’inèrcia de la barra respecte al punt de suspensió,
• $d$ és la distància del centre de massa al punt de suspensió,
• $m$ és la massa de la barra,
• $g$ és l’acceleració de la gravetat.

Per una barra homogènia de longitud $L$, penjada per un extrem, el moment d’inèrcia és: $$I = \frac{1}{3} m L^2$$

i el centre de massa es troba a una distància: $$d = \frac{L}{2}$$

Substituint aquests valors: $$T_p = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{3} m L^2}{mg \cdot (L/2)}}$$ $$T_p = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{3} L}{g/2}} = 2\pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}$$

Substituint $L = 1$ m i $g \approx 9.81$ m/s²: $$T_p = 2\pi \sqrt{\frac{2(1)}{3(9.81)}} \approx 1.64 \text{ s}$$

2. Període del sistema pèndol-molla

Afegim una molla horitzontal amb constant elàstica $k$, connectada al centre de massa de la barra. El sistema combina oscil·lacions angulars i horitzontals.

El període del sistema combinat ve donat per: $$T’ = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd + k d^2}}$$

Segons l’enunciat, volem que aquest període sigui la meitat del període del pèndol sol: $$T’ = \frac{T_p}{2}$$ $$2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd + k d^2}} = \frac{1}{2} \times 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$$

Cancel·lant $2\pi$ i elevant al quadrat: $$\frac{I}{mgd + k d^2} = \frac{1}{4} \times \frac{I}{mgd}$$ $$mgd + k d^2 = 4$$ $$k d^2 = 3$$ $$k = \frac{3mgd}{d^2} = \frac{3mg}{d}$$

Substituint $m = 1$ kg, $g = 9.81$ m/s², i $d = 0.5$ m: $$k = \frac{3(1)(9.81)}{0.5} = 58.86 \text{ N/m}$$

Conclusió

La constant de força de la molla ha de ser $k \approx 58.86$ N/m per tal que el període del sistema combinat sigui la meitat del del pèndol sol.