Sèrie alternada amb factor exponencial: estudi de convergència

Estudiar la convergència de la sèrie $$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \, r^n}{n \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n}$$ on $r > 0$ és un paràmetre.

La sèrie convergeix per a $r \leq 1$, sent absolutament convergent per a $0 < r < 1$ i condicionalment convergent per a $r = 1$. Per a $r > 1$, la sèrie divergeix.

Explicació detallada per arribar a la solució

Considerem la sèrie $S = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{r^n}{n (1 + 1/n)^n}$, on $r > 0$. Denotem el terme general com $a_n = (-1)^n u_n$, amb $u_n = \frac{r^n}{n (1 + 1/n)^n} > 0$ (ja que $r > 0$).

Pas 1: Anàlisi del límit de $u_n$ (condició necessària de convergència)

Perquè la sèrie pugui convergir, cal que $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$, el que implica $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$.

Reescrivim $u_n = \frac{1}{n} \left( \frac{r}{1 + 1/n} \right)^n = \frac{1}{n} \left( r \cdot \frac{n}{n+1} \right)^n$.

• El base $\frac{r}{1 + 1/n} \to r$ quan $n \to \infty$.
• L’asimptòtica de $\left( \frac{n}{n+1} \right)^n = e^{n \ln(n/(n+1))} = e^{n \ln(1 – 1/(n+1))} \approx e^{n (-1/(n+1))} \approx e^{-1}$.

Així, $u_n \sim \frac{1}{n} r^n e^{-1}$ no, sinó que per a l’exponent: $\left( \frac{r n}{n+1} \right)^n \approx r^n \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \approx r^n e^{-n/(n+1)} \approx r^n e^{-1}$.

Però el comportament dominant és $u_n \sim C \frac{r^n}{n}$, on $C$ és una constant (per exemple, $e^{-1}$ en alguns casos, però el factor clau és $r^n / n$).

• Si $r < 1$, $r^n \to 0$ exponencialment, més ràpid que qualsevol polinomi, així que $u_n \to 0$.
• Si $r = 1$, $u_n \sim \frac{1}{n e} \to 0$.
• Si $r > 1$, $r^n \to \infty$ exponencialment, dominant $1/n$, així que $u_n \to \infty$.

Conclusió: $u_n \to 0$ si i només si $r \leq 1$. Per a $r > 1$, els termes no tendeixen a 0, per tant la sèrie divergeix.

Pas 2: Convergència absoluta

Considerem la sèrie absoluta $\sum u_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{r^n}{n (1 + 1/n)^n}$.

Utilitzant l’asimptòtica, $u_n \sim \frac{r^n}{n}$ (amb ajustos constants irrellevants per a convergència).

• La sèrie $\sum \frac{r^n}{n}$ és la sèrie del logaritme: convergeix absolutament si $|r| < 1$ (equivalent a $-\ln(1 – r)$ per $r \in (0,1)$).
• Per a $r \geq 1$, divergeix (per $r=1$, és harmònica; per $r>1$, termes no tendeixen a 0).

Per tant, convergència absoluta si $r < 1$.

Pas 3: Convergència condicional (per a $r = 1$)

Per a $r = 1$, la sèrie absoluta divergeix, però la sèrie és alternada: $\sum (-1)^n u_n$, amb $u_n \sim \frac{1}{n e}$.

Apliquem el criteri de Leibniz: cal que $u_n \to 0$ (ja verificat) i que $u_n$ sigui eventualment decreixent ($u_{n+1} < u_n$ per a $n$ gran).

Com que $u_n \sim c / n$ amb $c = 1/e > 0$, i $1/n$ és decreixent per a $n \geq 1$, per comparació límit (lím. $u_n / (1/n) = c < \infty$), $u_n$ és eventualment decreixent.

A més, la sèrie $\sum (-1)^n / n$ (harmònica alternada) convergeix, i com que $u_n \sim c / n$, la sèrie $\sum (-1)^n u_n$ convergeix per comparació límit amb una sèrie convergent.

Conclusió: convergeix condicionalment per a $r = 1$.

Resum estructurat

• Per $0 < r < 1$: Convergència absoluta (per tant, convergència).
• Per $r = 1$: Convergència condicional.
• Per $r > 1$: Divergència (termes no tendeixen a 0).

La raó és transparent: l’anàlisi es basa en asimptòtiques estàndards de $(1 + 1/n)^n \to e$, però ajustada correctament al comportament exponencial vs. polinomial, i en criteris clàssics (Leibniz, comparació límit, sèries conegudes com la del logaritme o harmònica).