Càlcul de la probabilitat d’obtenir almenys 110 sisos en 720 llançaments d’un dau

Es llança un dau 720 vegades. Calcula la probabilitat aproximada que surtin, almenys, 110 sisos.

Per calcular la probabilitat aproximada de què, en llançar un dau 720 vegades, surtin almenys 110 sisos, podem utilitzar l’aproximació normal a la distribució binomial, ja que el nombre de llançaments (720) és gran.

Pas 1: Definició del problema

• n = 720: nombre de llançaments (proves).

• p = 1/6 ≈ 0.1667: probabilitat d’obtenir un sis en un sol llançament.

• q = 1 – p = 5/6 ≈ 0.8333: probabilitat de no obtenir un sis.

• Volem calcular la probabilitat que el nombre de seises (\(X\)) sigui almenys 110, és a dir, \(P(X \geq 110)\).

Com que \(n\) és gran, la distribució binomial \(X \sim \text{Binomial}(n, p)\) es pot aproximar a una distribució normal \(N(\mu, \sigma^2)\), on:

• Mitjana (\(\mu\)): \(\mu = n \cdot p = 720 \cdot \frac{1}{6} = 120\).

• Variança (\(\sigma^2\)): \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot q = 720 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = 720 \cdot \frac{5}{36} = 100\).

• Desviació estàndard (\(\sigma\)): \(\sigma = \sqrt{100} = 10\).Així, \(X \approx N(120, 10^2)\).

Pas 2: Aproximació de la probabilitat. Volem \(P(X \geq 110)\). Com que la distribució binomial és discreta i la normal és contínua, fem servir la correcció de continuïtat. Per tant, calculem:\[ P(X \geq 110) \approx P(Y \geq 109.5), \]on \(Y \sim N(120, 10^2)\).

Pas 3: Estandardització. Per trobar \(P(Y \geq 109.5)\), estandaritzem \(Y\) a una variable normal estàndard \(Z \sim N(0, 1)\):\[ Z = \frac{Y – \mu}{\sigma} = \frac{109.5 – 120}{10} = \frac{-10.5}{10} = -1.05. \]Així, la probabilitat es converteix en:\[ P(Y \geq 109.5) = P(Z \geq -1.05). \]Com que la distribució normal estàndard és simètrica, sabem que:\[ P(Z \geq -1.05) = P(Z \leq 1.05). \]

Pas 4: Càlcul de la probabilitat. Utilitzant la taula de la distribució normal estàndard (o una calculadora), trobem:\[ P(Z \leq 1.05) \approx 0.8531. \]Per tant:\[ P(X \geq 110) \approx 0.8531. \]

Pas 5: Verificació. Per assegurar-nos que l’aproximació normal és vàlida, comprovem si \(n \cdot p\) i \(n \cdot q\) són prou grans:- \(n \cdot p = 720 \cdot \frac{1}{6} = 120\),- \(n \cdot q = 720 \cdot \frac{5}{6} = 600\).Ambdós valors són molt més grans que 5, de manera que l’aproximació normal és adequada.

Resposta final. La probabilitat aproximada que surtin almenys 110 sisos en 720 llançaments d’un dau és 0.8531 (o aproximadament un 85.31%).