Estudia el caràcter de la sèrie aplicant el criteri de comparació per pas al límit

Estudia el caràcter de la sèrie aplicant el criteri de comparació per pas al límit: \[\sum_{n=1}^{\infty} \log \left( \frac{2n}{2n + 1} \right)\]

Per determinar el caràcter de la sèrie \(\sum_{n=1}^{\infty} \log \left( \frac{2n}{2n + 1} \right)\), apliquem el criteri de comparació per pas al límit. Aquest criteri estableix que, si \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L\) (on \(0 < L < \infty\)), llavors la sèrie \(\sum a_n\) té el mateix caràcter que \(\sum b_n\).

Considerem \(a_n = \log \left( \frac{2n}{2n + 1} \right)\). Per simplificar, podem expressar \(a_n\) utilitzant propietats del logaritme:

\[a_n = \log \left( \frac{2n}{2n + 1} \right) = \log (2n) – \log (2n + 1)\]

Ara, busquem una sèrie \(\sum b_n\) de caràcter conegut per comparar. Una opció raonable és comparar amb \(\frac{1}{n}\), ja que \(\log \left( \frac{2n}{2n + 1} \right)\) és petit per a valors grans de \(n\). Calculem el límit:

\[\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\log \left( \frac{2n}{2n + 1} \right)}{\frac{1}{n}}\]

Substituim l’expressió de \(a_n\):

\[\lim_{n \to \infty} \frac{\log (2n) – \log (2n + 1)}{\frac{1}{n}}\]

Apliquem la regla de l’Hospital, ja que tenim una forma \(\frac{\infty}{\infty}\):

• Derivada del numerador: \(\frac{d}{dn} [\log (2n) – \log (2n + 1)] = \frac{2}{2n} – \frac{2}{2n + 1} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n + \frac{1}{2}}\)

• Derivada del denominador: \(\frac{d}{dn} \left(\frac{1}{n}\right) = -\frac{1}{n^2}\)

\[\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n} – \frac{1}{n + \frac{1}{2}}}{-\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} -n^2 \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n + \frac{1}{2}} \right)\]

Simplifiquem:

\[= \lim_{n \to \infty} -n^2 \left( \frac{(n + \frac{1}{2}) – n}{n (n + \frac{1}{2})} \right) = \lim_{n \to \infty} -n^2 \cdot \frac{\frac{1}{2}}{n (n + \frac{1}{2})} = \lim_{n \to \infty} -\frac{n \cdot \frac{1}{2}}{n + \frac{1}{2}}\]

\[= \lim_{n \to \infty} -\frac{\frac{n}{2}}{n + \frac{1}{2}} = -\frac{\frac{1}{2}}{1} = -\frac{1}{2}\]

Com que \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\frac{1}{n}} = -\frac{1}{2}\) (un valor finit i diferent de zero), el criteri de comparació per pas al límit indica que la sèrie \(\sum a_n\) té el mateix caràcter que \(\sum \frac{1}{n}\), que és la sèrie harmònica, coneguda per ser divergent. Per tant, la sèrie \(\sum_{n=1}^{\infty} \log \left( \frac{2n}{2n + 1} \right)\) és divergent.