Determina l’interval de convergència

Determina l’interval de convergència per \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{(n+1)^2}\)

Aplicant el criteri del cocient:

\[\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1} x^{n+1}}{a_n x^n} \right| < 1\]

\[\lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{x^{n+1}}{(n+2)^2}}{\frac{x^n}{(n+1)^2}} \right| < 1\]

\[\lim_{n \to \infty} \left| \frac{x^{n+1} \cdot (n+1)^2}{x^n \cdot (n+2)^2} \right| < 1\]

\[\lim_{n \to \infty} \left| x \cdot \frac{(n+1)^2}{(n+2)^2} \right| < 1\]

\[\lim_{n \to \infty} \left| x \cdot \left(\frac{n+1}{n+2}\right)^2 \right| < 1\]

Com que \(\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+1}{n+2}\right)^2 = 1\), tenim:

\[|x| \cdot 1 < 1\]

\[|x| < 1\]

\[-1 < x < 1\]

Als punts extrems:

• Si \( x = 2 \), tenim \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2)^n}{(n+1)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{(n+1)^2}\), una sèrie divergent. Per què? Perquè la sèrie \(\sum 2^n\) creix exponencialment i no es veu compensada pel denominador \((n+1)^2\), que creix més lentament.

• Si \( x = -2 \), tenim \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n}{(n+1)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^n}{(n+1)^2}\), una sèrie divergent. Per què? Tot i ser alternada, el terme absolut \(\frac{2^n}{(n+1)^2}\) no tendeix a zero suficientment ràpidament per garantir convergència segons el criteri de Leibniz.

Finalment, l’interval de convergència per a la sèrie donada és: \(-2 < x < 2\)