Determina l’interval de convergència

Determina l’interval de convergència per \(\sum_{n=0}^{\infty} a x^n\)

Aplicant el criteri del cocient per a que la sèrie sigui convergent:

\[\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1} x^{n+1}}{a_n x^n} \right| < 1\]

\[\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a x^{n+1}}{x^n} \right| < 1\]

\[\lim_{n \to \infty} |a x| < 1\]

\[|a x| < 1\]

\[-1 < x < 1\]

Es requereix ara determinar la convergència o divergència en els punts extrems. En aquest cas:

• Si \( x = 1 \), tenim \(\sum_{n=0}^{\infty} a (-1)^n\), una sèrie no convergent, per què?

• Si \( x = -1 \), tenim \(\sum_{n=0}^{\infty} a |1|^n\), una sèrie no convergent, per què?

Finalment, l’interval de convergència per a la sèrie donada és: \([-1 < x < 1]\)

Observeu que es pot observar com una sèrie geomètrica de raó \( x \).