Resolució sistema d’equacions pel mètode de Gauss

Donat el sistema d’equacions:\[\begin{cases}x + 3y + 4z &= 4 \\2x – y + 2z &= 13 \\3x + 4y – 2z &= 1\end{cases}\] resoleu-ho pel mètode de Gauss

Donat el sistema d’equacions:\[\begin{cases}x + 3y + 4z &= 4 \\2x – y + 2z &= 13 \\3x + 4y – 2z &= 1\end{cases}\]La matriu augmentada és:\[\begin{bmatrix}1 & 3 & 4 & | 4 \\2 & -1 & 2 & | 13 \\3 & 4 & -2 & | 1\end{bmatrix}\]

Pas 1: Fer zeros sota el primer pivot: Utilitzem la primera fila per eliminar els elements 2 i 3 de la primera columna:\[F_2 \leftarrow F_2 – 2F_1, \quad F_3 \leftarrow F_3 – 3F_1\]Càlculs:\[F_2 = (2, -1, 2, | 13) – 2(1, 3, 4, | 4) = (0, -7, -6, | 5)\]\[F_3 = (3, 4, -2, | 1) – 3(1, 3, 4, | 4) = (0, -5, -14, | -11)\]Nova matriu:\[\begin{bmatrix}1 & 3 & 4 & | 4 \\0 & -7 & -6 & | 5 \\0 & -5 & -14 & | -11\end{bmatrix}\]

Pas 2: Fer zeros sota el segon pivot: Utilitzem la segona fila per eliminar el -5 de la tercera fila:\[F_3 \leftarrow (-7)F_3 + (-5)F_2\]Multipliquem:\[(-7)F_3 = (0, 35, 98, | 77)\]\[(-5)F_2 = (0, 35, 30, | -25)\]Sumem:\[F_3 = (0, 0, 128, | 52)\]Nova matriu:\[\begin{bmatrix}1 & 3 & 4 & | 4 \\0 & -7 & -6 & | 5 \\0 & 0 & 128 & | 52\end{bmatrix}\]

Pas 3: Substitució regressiva: Ara tenim una matriu triangular superior, així que trobem les solucions.

Trobar $z$\[128z = 52\]\[z = \frac{52}{128} = 1.5\]

Trobar $y$. Substituïm $z = 1.5$ a la segona equació:\[-7y – 6(1.5) = 5\]\[-7y – 9 = 5\]\[-7y = 14\]\[y = -2\]

Trobar $x$. Substituïm $y = -2$ i $z = 1.5$ a la primera equació:\[x + 3(-2) + 4(1.5) = 4\]\[x – 6 + 6 = 4\]\[x = 4\]

Conclusió: La solució del sistema és:\[\boxed{x = 4, \quad y = -2, \quad z = 1.5}\]