Resolució sistema d’equacions pel mètode de Cramer

El sistema d’equacions és: $$\begin{cases} x + 3y + 4z &= 4 \\ 2x – y + 2z &= 13 \\ 3x + 4y – 2z &= 1 \end{cases}$$

Resoldrem el sistema pas a pas mitjançant la Regla de Cramer, utilitzant determinants.

---

Pas 1: Plantegem la matriu del sistema

El sistema d’equacions és: $$\begin{cases} x + 3y + 4z &= 4 \\ 2x – y + 2z &= 13 \\ 3x + 4y – 2z &= 1 \end{cases}$$

La matriu dels coeficients $\Delta$ és: $$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & 4 & -2 \end{vmatrix}$$

I el vector de termes independents $B$ és: $$B = \begin{bmatrix} 4 \\ 13 \\ 1 \end{bmatrix}$$

---

Pas 2: Càlcul del determinant $\Delta$

El determinant de $\Delta$ es calcula així:$$\Delta =\begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & 4 & -2 \end{vmatrix}$$

Utilitzem la regla de Sarrus: $$ \Delta= 1 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} – 3 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}$$

Ara calculem els determinants de les matrius $2 \times 2$: $$\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = (-1)(-2) – (2)(4) = 2 – 8 = -6$$ $$\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = (2)(-2) – (2)(3) = -4 – 6 = -10$$ $$\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (2)(4) – (-1)(3) = 8 + 3 = 11$$

Substituïm aquests valors en l’equació de $\Delta$: $$\Delta = 1(-6) – 3(-10) + 4(11) = -6 + 30 + 44 = 68$$

---

Pas 3: Càlcul de $\Delta_x$, $\Delta_y$ $\Delta_z$

Determinant $\Delta_x$

Substituïm la primera columna de $\Delta$ pels termes independents $B$: $$\Delta_x = \begin{vmatrix} 4 & 3 & 4 \\ 13 & -1 & 2 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix}$$

Fem el mateix procés: $$\Delta_x = 4 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} – 3 \begin{vmatrix} 13 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} 13 & -1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}$$

Els determinants de les matrius $2 \times 2$: $$\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 4 & -2 \end{vmatrix}=(-1)(-2)-(2)(4)= 2-8=-6$$ $$\begin{vmatrix} 13 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (13)(-2) – (2)(1) = -26 – 2 = -28$$ $$\begin{vmatrix} 13 & -1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = (13)(4) – (-1)(1) = 52 + 1 = 53$$

Substituïm aquests valors: $$D_x = 4(-6) – 3(-28) + 4(53) = -24 + 84 + 212 = 272$$

---

Determinant $\Delta_y$

Substituïm la segona columna de $\Delta$ pels termes independents $B$: $$\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 2 & 13 & 2 \\ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$

Fem el mateix procés: $$1\begin{vmatrix}13 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} – 4 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} 2 & 13 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}$$

Els determinants: $$\begin{vmatrix} 13 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -28$$ $$\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = -10$$ $$\begin{vmatrix} 2 & 13 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = (2)(1) – (13)(3) = 2 – 39 = -37$$

Substituïm: $$\Delta_y = 1(-28) – 4(-10) + 4(-37) = -28 + 40 – 148 = -136$$

---

Determinant $\Delta_z$

Substituïm la tercera columna de $\Delta$ pels termes independents $B$: $$\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & -1 & 13 \\ 3 & 4 & 1 \end{vmatrix}$$

Fem el mateix procés: $$\Delta_z = 1 \begin{vmatrix} -1 & 13 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} – 3 \begin{vmatrix} 2 & 13 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}$$

Els determinants: $$\begin{vmatrix} -1 & 13 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = (-1)(1) – (13)(4) = -1 – 52 = -53$$ $$\begin{vmatrix} 2 & 13 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -37$$ $$\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 11$$

Substituïm: $$\Delta_z = 1(-53) – 3(-37) + 4(11) = -53 + 111 + 44 = 102

---

Pas 4: Càlcul de les solucions

$$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{272}{68} = 4$$ $$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-136}{68} = -2$$ $$z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{102}{68} = 1.5$$

---

Resposta final

$$\boxed{x = 4, \quad y = -2, \quad z = 1.5}$$. És un sistema compatible determinat

A continuació teniu la resolució pel mètode de Gauss