Problema sobe camp magnètic. Electró

Un electró que es mou a una velocitat de $3 \times 10^4$ m/s entra perpendicularment en un camp magnètic uniforme de $0,1$ T. Determineu: a) El valor de la força magnètica que actua sobre aquest. b) El radi de l’òrbita descrita. c) El temps que triga en recórrer una circumferència completa. d) Per què es pot menysprear l’efecte de la gravetat? Justifica-ho.

Dades:

• $m_e = 9,11 \times 10^{-31}$ kg
• $Q_e = -1,60 \times 10^{-19}$ C

La força magnètica es calcula amb la llei de Lorentz:
\begin{equation}
F = |q| v B \sin\theta
\end{equation}

Substituint els valors:
\begin{equation}
F = (1,60 \times 10^{-19}) (3 \times 10^4) (0,1) (1)
\end{equation}
\begin{equation}
F = 4,8 \times 10^{-16} \text{ N}
\end{equation}

Radi de l’Òrbita
Com que l’electró es mou en una trajectòria circular, la força magnètica actua com a força centrípeta:
\begin{equation}
F = m \frac{v^2}{r}
\end{equation}

Aïllant $r$:
\begin{equation}
r = \frac{m v}{q B}
\end{equation}

Substituint les dades:
\begin{equation}
r = \frac{(9,11 \times 10^{-31}) (3 \times 10^4)}{(1,60 \times 10^{-19}) (0,1)}
\end{equation}
\begin{equation}
r = \frac{2,733 \times 10^{-26}}{1,6 \times 10^{-20}}
\end{equation}
\begin{equation}
r \approx 1,71 \times 10^{-6} \text{ m} = 1,71 \text{ μm}
\end{equation}

Període de la Trajectòria
El període de la trajectòria circular és:
\begin{equation}
T = \frac{2\pi r}{v}
\end{equation}

Substituint $r$:
\begin{equation}
T = \frac{2\pi (1,71 \times 10^{-6})}{3 \times 10^4}
\end{equation}
\begin{equation}
T = \frac{1,074 \times 10^{-5}}{3 \times 10^4}
\end{equation}
\begin{equation}
T \approx 3,58 \times 10^{-10} \text{ s}
\end{equation}

Efecte de la Gravetat
La força gravitatòria sobre l’electró és:
\begin{equation}
F_g = m g
\end{equation}

Substituint les dades:
\begin{equation}
F_g = (9,11 \times 10^{-31}) (9,8)
\end{equation}
\begin{equation}
F_g = 8,93 \times 10^{-30} \text{ N}
\end{equation}

Comparant amb la força magnètica:
\begin{equation}
F_m = 4,8 \times 10^{-16} \text{ N}
\end{equation}

Com que $F_m$ és molt més gran que $F_g$ (unes $10^{13}$ vegades més gran), l’efecte de la gravetat és negligible.