Problema camp magnétic. Dues partícules amb càrrega i massa

Dues partícules amb la mateixa càrrega $q$ i amb masses $m_1$ i $m_2$ penetren en el punt A amb la mateixa velocitat $v$, en un camp magnètic uniforme i perpendicular al pla del paper, $B$. Després de descriure mitja circumferència, la primera incideix al punt B i la segona al punt C. Es demana calcular la separació final entre les partícules (distància BC) en funció dels paràmetres donats.

La força magnètica actua com a força centrípeta:
\begin{equation}
F = q v B = m \frac{v^2}{r}
\end{equation}

Aïllant el radi $r$:
\begin{equation}
r = \frac{m v}{q B}
\end{equation}

Així, els radis de les dues partícules són:
\begin{equation}
r_1 = \frac{m_1 v}{q B}, \quad r_2 = \frac{m_2 v}{q B}
\end{equation}

Com que les partícules descriuen una mitja circumferència, el desplaçament horitzontal des del punt A fins al punt final (B o C) és el diàmetre de la trajectòria circular:
\begin{equation}
d_1 = 2 r_1 = 2 \frac{m_1 v}{q B}, \quad d_2 = 2 r_2 = 2 \frac{m_2 v}{q B}
\end{equation}

La separació final entre les partícules és la diferència entre els dos diàmetres:
\begin{equation}
\text{BC} = d_2 – d_1 = 2 \frac{m_2 v}{q B} – 2 \frac{m_1 v}{q B}
\end{equation}

Factoritzant:
\begin{equation}
\text{BC} = 2 \frac{v}{q B} (m_2 – m_1)
\end{equation}

Finalment, la separació entre les dues partícules és:
\begin{equation}
\text{BC} = \frac{2 v (m_2 – m_1)}{q B}
\end{equation}

Aquesta és l’expressió de la separació final entre les dues partícules en funció dels paràmetres donats.