Problema espectròmetre de masses

L’espectròmetre de masses fa entrar partícules carregades, com per exemple ions, dins un camp magnètic uniforme. Quan les partícules carregades i amb una velocitat coneguda entren dins del camp magnètic constant, a partir de la trajectòria, en podem calcular la massa. Un feix de ions compost per $^{20}\text{Ne}^+$ i $^{22}\text{Ne}^+$ (que foren els primers isòtops naturals trobats) entra en l’espectròmetre de masses de la figura. La velocitat dels ions és $1,00 \times 10^5$ m/s. Expliqueu raonadament quin tipus de trajectòria descriu cada un dels ions dins del camp. Quin treball realitzarà la força que exerceix el camp magnètic en aquesta trajectòria? Calculeu a quina distància del punt d’entrada impactarà cada un dels ions.

Dades:

• Massa de $^{22}\text{Ne}^+$: $m(^{22}\text{Ne}^+) = 22,0u$
• Massa de $^{20}\text{Ne}^+$: $m(^{20}\text{Ne}^+) = 20,0u$
• Càrrega: $Q(^{22}\text{Ne}^+) = Q(^{20}\text{Ne}^+) = 1,60 \times 10^{-19}$ C
• Unitat de massa atòmica: $1u = 1,66 \times 10^{-27}$ kg
• Camp magnètic: $B = 0,23$ T (perpendicular al paper)

Quan una partícula carregada entra perpendicularment en un camp magnètic uniforme $B$, experimenta una força de Lorentz:

\begin{equation}
F = q v B
\end{equation}

Aquesta força actua com a força centrípeta, obligant les partícules a moure’s en una trajectòria circular. Com que la força magnètica és perpendicular a la velocitat de la partícula, no fa treball sobre aquesta (ja que no modifica la seva energia cinètica, només canvia la seva direcció). Així, les partícules seguiran una trajectòria circular dins del camp magnètic amb diferent radi segons la seva massa.

L’expressió del radi de la trajectòria circular és:

\begin{equation}
r = \frac{m v}{q B}
\end{equation}

Substituïm els valors per cada ió:

Per $^{20}\text{Ne}^+$:

\begin{align} m &= 20,0 \times 1,66 \times 10^{-27} \text{ kg} = 3,32 \times 10^{-26} \text{ kg} \ r_{20} &= \frac{(3,32 \times 10^{-26}) (1,00 \times 10^5)}{(1,60 \times 10^{-19}) (0,23)} \ &= \frac{3,32 \times 10^{-21}}{3,68 \times 10^{-20}} \ &= 0,0902 \text{ m} = 9,02 \text{ cm} \end{align}

Per $^{22}\text{Ne}^+$:

\begin{align} m &= 22,0 \times 1,66 \times 10^{-27} \text{ kg} = 3,65 \times 10^{-26} \text{ kg} \ r_{22} &= \frac{(3,65 \times 10^{-26}) (1,00 \times 10^5)}{(1,60 \times 10^{-19}) (0,23)} \ &= \frac{3,65 \times 10^{-21}}{3,68 \times 10^{-20}} \ &= 0,0992 \text{ m} = 9,92 \text{ cm} \end{align}

Com que cada ió completa mitja circumferència abans d’impactar, la distància des del punt d’entrada fins al punt d’impacte és el diàmetre de cada trajectòria:

\begin{align} d_{20} &= 2 r_{20} = 2 \times 9,02 = 18,04 \text{ cm} \ d_{22} &= 2 r_{22} = 2 \times 9,92 = 19,84 \text{ cm} \end{align}

La separació entre els dos impactes és:

\begin{equation}
\Delta d = d_{22} – d_{20} = 19,84 – 18,04 = 1,80 \text{ cm}
\end{equation}

La força magnètica és sempre perpendicular a la velocitat de la partícula, la qual cosa significa que no realitza treball:

\begin{equation}
W = 0
\end{equation}

Resultats Finals:

• Tipus de trajectòria: Circular, ja que la força magnètica actua com a força centrípeta.
• Treball del camp magnètic: $W = 0$.
• Distància d’impacte de $^{20}\text{Ne}^+$: $18,04$ cm.
• Distància d’impacte de $^{22}\text{Ne}^+$: $19,84$ cm.
• Separació entre impactes: $1,80$ cm.