Resolució del sistema d’equacions lineals pel mètode de Cramer

Resolem el sistema d’equacions següent pel mètode de Cramer: $$\begin{cases} 3x + 2y + z = 1 \\ 5x + 3y + 4z = 2 \\ x + y – z = 1\end{cases}$$

Pas 1: Escriure el sistema en forma matricial $AX = B$

La matriu dels coeficients $A$, la matriu de variables $X$ i la matriu de termes independents $B$ són:

$$A = \begin{bmatrix}
3 & 2 & 1 \\
5 & 3 & 4 \\
1 & 1 & -1
\end{bmatrix}, \quad
X = \begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
1
\end{bmatrix}$$

Pas 2: Calcular el determinant de $A$ ($\Delta$)

$$\Delta = 3 \begin{vmatrix} 3 & 4 \ 1 & -1 \end{vmatrix} – 2 \begin{vmatrix} 5 & 4 \ 1 & -1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 5 & 3 \ 1 & 1 \end{vmatrix}$$

• Primer menor: $3(-1) – 4 \cdot 1 = -3 – 4 = -7$, llavors $3(-7) = -21$
• Segon menor: $5(-1) – 4 \cdot 1 = -5 – 4 = -9$, llavors $-2(-9) = 18$
• Tercer menor: $5 \cdot 1 – 3 \cdot 1 = 5 – 3 = 2$, llavors $1 \cdot 2 = 2$

$$\Delta = -21 + 18 + 2 = -1$$

Pas 3: Calcular els determinants $\Delta_x$, $\Delta_y$ i $\Delta_z$

Segons el mètode de Cramer: $x = \frac{\Delta_x}{\Delta}$, $y = \frac{\Delta_y}{\Delta}$, $z = \frac{\Delta_z}{\Delta}$.

• $\Delta_x$: Substituïm la primera columna de $A$ per $B$:

$$\Delta_x = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 3 & 4 \\
1 & 1 & -1
\end{vmatrix} = 1 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} – 2 \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$

• Primer menor: $3(-1) – 4 \cdot 1 = -7$, llavors $1(-7) = -7$
• Segon menor: $2(-1) – 4 \cdot 1 = -6$, llavors $-2(-6) = 12$
• Tercer menor: $2 \cdot 1 – 3 \cdot 1 = -1$, llavors $1(-1) = -1$

$$\Delta_x = -7 + 12 – 1 = 4$$

• $\Delta_y$: Substituïm la segona columna de $A$ per $B$:

$$\Delta_y = \begin{vmatrix}
3 & 1 & 1 \\
5 & 2 & 4 \\
1 & 1 & -1
\end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} – 1 \begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$

• Primer menor: $2(-1) – 4 \cdot 1 = -6$, llavors $3(-6) = -18$
• Segon menor: $5(-1) – 4 \cdot 1 = -9$, llavors $-1(-9) = 9$
• Tercer menor: $5 \cdot 1 – 2 \cdot 1 = 3$, llavors $1 \cdot 3 = 3$

$$\Delta_y = -18 + 9 + 3 = -6$$

• $\Delta_z$: Substituïm la tercera columna de $A$ per $B$:

$$\Delta_z = \begin{vmatrix}
3 & 2 & 1 \\
5 & 3 & 2 \\
1 & 1 & 1
\end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} – 2 \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$

• Primer menor: $3 \cdot 1 – 2 \cdot 1 = 1$, llavors $3 \cdot 1 = 3$
• Segon menor: $5 \cdot 1 – 2 \cdot 1 = 3$, llavors $-2 \cdot 3 = -6$
• Tercer menor: $5 \cdot 1 – 3 \cdot 1 = 2$, llavors $1 \cdot 2 = 2$

$$\Delta_z = 3 – 6 + 2 = -1$$

Pas 4: Calcular $x$, $y$ i $z$

$$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{4}{-1} = -4, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-6}{-1} = 6, \quad z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-1}{-1} = 1$$

Resposta final:

$$x = -4, \quad y = 6, \quad z = 1$$