Càlcul del cost dels ingredients per a l’elaboració de pastissos

Un forn empra tres ingredients A, B i C per elaborar tres tipus de pastís. El pastís P1 es fa amb 1 unitat de A, 2 de B i 2 de C. El pastís P2 duu 4 unitats de A, 1 de B i 1 de C. I el P3 necessita 2 unitats de A, 1 de B i 2 de C. Els preus de venda al públic són 7,50 el P1; 6,50 el P2 i 7 el P3. Sabent que el benefici que s’obté amb la venda de cada pastís és de 2, calcula quant li costa al forn cada unitat de A, B i C.

Plantegem el problema. Tenim tres pastissos (P1, P2, P3) fets amb els ingredients A, B i C:

• P1: 1 unitat de A, 2 de B, 2 de C
• P2: 4 unitats de A, 1 de B, 1 de C
• P3: 2 unitats de A, 1 de B, 2 de C

Els preus de venda són 7,50 (P1), 6,50 (P2) i 7,00 (P3). Com que el benefici per pastís és de 2,00, el cost de producció és:

• Cost de P1: ( 7,50 – 2 = 5,50 )
• Cost de P2: ( 6,50 – 2 = 4,50 )
• Cost de P3: ( 7,00 – 2 = 5,00 )

Anomenem ( a ), ( b ) i ( c ) el cost de cada unitat de A, B i C. El cost de cada pastís es pot expressar com:

• P1: ( a + 2b + 2c = 5,50 )
• P2: ( 4a + b + c = 4,50 )
• P3: ( 2a + b + 2c = 5,00 )

Això forma el sistema següent:

$$\begin{cases}
a + 2b + 2c = 5,50 \\
4a + b + c = 4,50 \\
2a + b + 2c = 5,00
\end{cases}$$

Pas 1: Resoldre el sistema pel mètode de Cramer

Escrivim el sistema en forma matricial $AX = B$:

$$A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 \\
4 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 2
\end{bmatrix}, \quad
X = \begin{bmatrix}
a \\
b \\
c
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
5,50 \º
4,50 \\
5,00
\end{bmatrix}$$

Pas 2: Calcular el determinant de $A$ ($\Delta$)

$$\Delta = 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} – 2 \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}$$

• Primer menor: $1 \cdot 2 – 1 \cdot 1 = 1$, llavors $1 \cdot 1 = 1$
• Segon menor: $4 \cdot 2 – 1 \cdot 2 = 6$, llavors $-2 \cdot 6 = -12$
• Tercer menor: $4 \cdot 1 – 1 \cdot 2 = 2$, llavors $2 \cdot 2 = 4$

$$\Delta = 1 – 12 + 4 = -7$$

Pas 3: Calcular $\Delta_a$, $\Delta_b$ i $\Delta_c$

• $\Delta_a$:
  $$\Delta_a = \begin{vmatrix}
  5,50 & 2 & 2 \\
  4,50 & 1 & 1 \\
  5,00 & 1 & 2
  \end{vmatrix} = 5,50 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} – 2 \begin{vmatrix} 4,50 & 1 \\ 5,00 & 2 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 4,50 & 1 \\ 5,00 & 1 \end{vmatrix}$$
• Primer menor: $1 \cdot 2 – 1 \cdot 1 = 1$, llavors $5,50 \cdot 1 = 5,50$
• Segon menor: $4,50 \cdot 2 – 1 \cdot 5,00 = 4$, llavors $-2 \cdot 4 = -8$
• Tercer menor: $4,50 \cdot 1 – 1 \cdot 5,00 = -0,50$, llavors $2 \cdot (-0,50) = -1$

$$\Delta_a = 5,50 – 8 – 1 = -3,50$$

• $\Delta_b$:
  $$\Delta_b = \begin{vmatrix}
  1 & 5,50 & 2 \\
  4 & 4,50 & 1 \\
  2 & 5,00 & 2
  \end{vmatrix} = 1 \begin{vmatrix} 4,50 & 1 \\ 5,00 & 2 \end{vmatrix} – 5,50 \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 4 & 4,50 \\ 2 & 5,00 \end{vmatrix}$$
• Primer menor: $4,50 \cdot 2 – 1 \cdot 5,00 = 4$, llavors $1 \cdot 4 = 4$
• Segon menor: $4 \cdot 2 – 1 \cdot 2 = 6$, llavors $-5,50 \cdot 6 = -33$
• Tercer menor: $4 \cdot 5,00 – 4,50 \cdot 2 = 11$, llavors $2 \cdot 11 = 22$)

$$\Delta_b = 4 – 33 + 22 = -7$$

• $\Delta_c$:
  $$\Delta_c = \begin{vmatrix}
  1 & 2 & 5,50 \\
  4 & 1 & 4,50 \\
  2 & 1 & 5,00
  \end{vmatrix} = 1 \begin{vmatrix} 1 & 4,50 \\ 1 & 5,00 \end{vmatrix} – 2 \begin{vmatrix} 4 & 4,50 \\ 2 & 5,00 \end{vmatrix} + 5,50 \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}$$
• Primer menor: $1 \cdot 5,00 – 4,50 \cdot 1 = 0,50$, llavors $1 \cdot 0,50 = 0,50$
• Segon menor: $4 \cdot 5,00 – 4,50 \cdot 2 = 11$, llavors $-2 \cdot 11 = -22$
• Tercer menor: $4 \cdot 1 – 1 \cdot 2 = 2$, llavors $5,50 \cdot 2 = 11$

$$\Delta_c = 0,50 – 22 + 11 = -10,50$$

Pas 4: Calcular $a$, $b$ i $c$

$$a = \frac{\Delta_a}{\Delta} = \frac{-3,50}{-7} = 0,50, \quad b = \frac{\Delta_b}{\Delta} = \frac{-7}{-7} = 1,00, \quad c = \frac{\Delta_c}{\Delta} = \frac{-10,50}{-7} = 1,50$$

Resposta final:

El cost de cada unitat d’ingredient és:

• Ingredient A: $0,50$
• Ingredient B: $1,00$
• Ingredient C: $1,50$