Càlcul de la longitud de camí pla entre A i B per un automòbil

Un automòbil puja les costes a $54$ km/h, les baixa a $90$ km/h i en pla va a $80$ km/h. Per anar de A a B tarda $2$ hores i $30$ minuts, i per tornar de B a A, $2$ hores i $45$ minuts. Quina és la longitud de camí pla entre A i B si sabem que la distància entre A i B és de 192 km? Resol el problema pel mètode de Gauss.

---

Pas 1: Plantejament del problema

La distància total entre A i B és de $192$ km, i aquesta distància es divideix en tres trams: un tram de pujada, un tram de baixada i un tram pla. Anomenem:

• $x$: longitud del tram de pujada (en km)
• $y$: longitud del tram de baixada (en km)
• $z$: longitud del tram pla (en km)

Sabem que:
$$x + y + z = 192 \quad (1)$$

Les velocitats són:

• Pujada: 54 km/h
• Baixada: 90 km/h
• Pla: 80 km/h

El temps es calcula com $\text{temps} = \frac{\text{distància}}{\text{velocitat}}$. Convertim els temps donats a hores:

• Anada (A a B): 2 hores i 30 minuts = $2 + \frac{30}{60} = 2,5$ hores
• Tornada (B a A): 2 hores i 45 minuts = $2 + \frac{45}{60} = 2,75$ hores

Anada (A a B): Quan va de A a B, el tram de pujada es fa a 54 km/h, el de baixada a 90 km/h i el pla a 80 km/h. El temps total és:

$$\frac{x}{54} + \frac{y}{90} + \frac{z}{80} = 2,5 \quad (2)$$

Tornada (B a A): Quan torna de B a A, el tram que era de pujada ara és de baixada (90 km/h), i el que era de baixada ara és de pujada (54 km/h). El tram pla es fa a la mateixa velocitat (80 km/h). El temps total és:

$$\frac{x}{90} + \frac{y}{54} + \frac{z}{80} = 2,75 \quad (3)$$

Tenim el sistema següent:

$$\begin{cases}
x + y + z = 192 \quad (1) \\
\frac{x}{54} + \frac{y}{90} + \frac{z}{80} = 2,5 \quad (2) \\
\frac{x}{90} + \frac{y}{54} + \frac{z}{80} = 2,75 \quad (3)
\end{cases}$$

Pas 2: Simplificar les equacions

Per eliminar els denominadors de les equacions (2) i (3), multipliquem per un mínim comú múltiple. El MCM de 54, 90 i 80 és 21.600 (ja que $54 = 2 \cdot 3^3$, $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $80 = 2^4 \cdot 5$, i el MCM és $2^4 \cdot 3^3 \cdot 5 = 16 \cdot 27 \cdot 5 = 2.160$).

Multipliquem (2) per 21.600:

$$21.600 \cdot \frac{x}{54} + 21.600 \cdot \frac{y}{90} + 21.600 \cdot \frac{z}{80} = 21.600 \cdot 2,5$$

$$400x + 240y + 270z = 54.000 \quad (4)$$

Multipliquem (3) per 21.600:

$$21.600 \cdot \frac{x}{90} + 21.600 \cdot \frac{y}{54} + 21.600 \cdot \frac{z}{80} = 21.600 \cdot 2,75$$

$$240x + 400y + 270z = 59.400 \quad (5)$$

Ara el sistema és:

$$\begin{cases}
x + y + z = 192 \quad (1) \\
400x + 240y + 270z = 54.000 \quad (4) \\
240x + 400y + 270z = 59.400 \quad (5)
\end{cases}$$

Pas 3: Resoldre pel mètode de Gauss

Escrivim la matriu augmentada del sistema:

$$\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 192 \\
400 & 240 & 270 & | & 54.000 \\
240 & 400 & 270 & | & 59.400
\end{bmatrix}$$

Objectiu: Reduir la matriu a una forma esglaonada.

• Fila 2: $F_2 \gets F_2 – 400F_1$

$$400 – 400 \cdot 1 = 0, \quad 240 – 400 \cdot 1 = -160, \quad 270 – 400 \cdot 1 = -130, \quad 54.000 – 400 \cdot 192 = 54.000 – 76.800 = -22.800$$

$$\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 192 \\
0 & -160 & -130 & | & -22.800 \\
240 & 400 & 270 & | & 59.400
\end{bmatrix}$$

• Fila 3: $F_3 \gets F_3 – 240F_1$

$$240 – 240 \cdot 1 = 0, \quad 400 – 240 \cdot 1 = 160, \quad 270 – 240 \cdot 1 = 30, \quad 59.400 – 240 \cdot 192 = 59.400 – 46.080 = 13.320$$

$$\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 192 \\
0 & -160 & -130 & | & -22.800 \\
0 & 160 & 30 & | & 13.320
\end{bmatrix}$$

• Fila 3: $F_3 \gets F_3 + F_2$

$$-160 + 160 = 0, \quad -130 + 30 = -100, \quad -22.800 + 13.320 = -9.480$$

$$\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 192 \\
0 & -160 & -130 & | & -22.800 \\
0 & 0 & -100 & | & -9.480
\end{bmatrix}$$

Ara tenim una matriu esglaonada. Resolem de baix a dalt:

• De la tercera fila:
  $$-100z = -9.480 \implies z = \frac{-9.480}{-100} = 94,8$$
• De la segona fila:
  $$-160y – 130z = -22.800$$

Substituïm $z = 94,8$:

$$-130 \cdot 94,8 = -12.324, \quad -22.800 – (-12.324) = -10.476$$

$$-160y = -10.476 \implies y = \frac{-10.476}{-160} = 65,475$$

• De la primera fila:
  $$x + y + z = 192$$

Substituïm $y = 65,475$ i $z = 94,8$:

$$y + z = 65,475 + 94,8 = 160,275, \quad x = 192 – 160,275 = 31,725$$

Pas 4: Interpretació

• $x = 31,725$ km (tram de pujada)
• $y = 65,475$ km (tram de baixada)
• $z = 94,8$ km (tram pla)

La longitud del camí pla entre A i B és $z$.

Resposta final:

La longitud del camí pla entre A i B és $94,8$ km.