Anàlisi del rang i resolució del sistema d’equacions lineals en funció del paràmetre

Donada la matriu: $$M = \begin{bmatrix}1 & a & a^2 \\ 1 & a+1 & (a+1)^2 \\ 1 & a-1 & (a-1)^2 \end{bmatrix}$$

on $a \in \mathbb{R}$, es demana:

a) Calcular el rang de la matriu $M$ en funció dels valors del paràmetre $a$.
b) Discutir i resoldre el sistema d’equacions lineals $M \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, segons els valors del paràmetre $a$.

---

a) Càlcul del rang de la matriu $M$

El rang d’una matriu és el nombre de files o columnes linealment independents. Com que $M$ és una matriu $3 \times 3$, el rang pot ser 0, 1, 2 o 3. Per determinar-lo, calculem el determinant de $M$. Si $\det(M) \neq 0$, el rang serà $3$ (files linealment independents). Si $\det(M) = 0$, hem d’analitzar submatrius.

Pas 1: Calcular el determinant de $M$

El determinant d’una matriu $3 \times 3$ $\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$ es calcula com:

$$\det = a(ei – fh) – b(di – fg) + c(dh – eg)$$

Per a $M$, expandim pel primer element de la primera columna (tots són $1$):

$$\det(M) = 1 \begin{vmatrix} a+1 & (a+1)^2 \ a-1 & (a-1)^2 \end{vmatrix} – 1 \begin{vmatrix} a & a^2 \ a-1 & (a-1)^2 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} a & a^2 \ a+1 & (a+1)^2 \end{vmatrix}$$

• Primer menor:
  $$(a+1)(a-1)^2 – (a-1)(a+1)^2 = (a+1)(a-1)[(a-1) – (a+1)] = (a+1)(a-1)(-2) = -2(a^2-1)$$
• Segon menor:
  $$a(a-1)^2 – a^2(a-1) = a(a-1)[(a-1) – a] = a(a-1)(-1) = -a(a-1)$$
• Tercer menor:
  $$a(a+1)^2 – a^2(a+1) = a(a+1)[(a+1) – a] = a(a+1)(1) = a(a+1)$$

$$\det(M) = -2(a^2-1) – (-a(a-1)) + a(a+1) = -2a^2 + 2 + a^2 – a + a^2 + a = 2$$

El determinant és $2$, independent de $a$. Com que $\det(M) \neq 0$ per a tot $a \in \mathbb{R}$, el rang de $M$ és sempre $3$.

Resposta a):

El rang de la matriu $M$ és $3$ per a tot $a \in \mathbb{R}$.

---

b) Discussió i resolució del sistema d’equacions

El sistema és:

$$M \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Això correspon a:

$$\begin{cases}
x + ay + a^2 z = 1 \quad (1) \\
x + (a+1)y + (a+1)^2 z = 1 \quad (2) \\
x + (a-1)y + (a-1)^2 z = 1 \quad (3)
\end{cases}$$

Com que el rang de $M$ és 3 per a tot $a$, el sistema té una única solució (ja que el nombre de files independents és igual al nombre de variables). El rang del sistema augmentat també serà 3, ja que afegir la columna $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ no canvia el fet que el sistema és compatible.

Pas 1: Resoldre pel mètode de Cramer

• Determinant de $M$: Ja hem calculat $\det(M) = 2$.
• $\Delta_x$: Substituïm la primera columna per $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$:

$$\Delta_x = \begin{vmatrix}
1 & a & a^2 \\
1 & a+1 & (a+1)^2 \\
1 & a-1 & (a-1)^2
\end{vmatrix}$$

Expandim per la primera columna:

$$\Delta_x = 1 \begin{vmatrix} a+1 & (a+1)^2 \ a-1 & (a-1)^2 \end{vmatrix} – 1 \begin{vmatrix} a & a^2 \ a-1 & (a-1)^2 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} a & a^2 \ a+1 & (a+1)^2 \end{vmatrix}$$

Aquests són els mateixos menors que abans:

$$\Delta_x = -2(a^2-1) – (-a(a-1)) + a(a+1) = 2$$

• $\Delta_y$: Substituïm la segona columna:

$$\Delta_y = \begin{vmatrix}
1 & 1 & a^2 \\
1 & 1 & (a+1)^2 \\
1 & 1 & (a-1)^2
\end{vmatrix}$$

Expandim per la primera columna:

$$\Delta_y = 1 \begin{vmatrix} 1 & (a+1)^2 \ 1 & (a-1)^2 \end{vmatrix} – 1 \begin{vmatrix} 1 & a^2 \ 1 & (a-1)^2 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & a^2 \ 1 & (a+1)^2 \end{vmatrix}$$

• Primer menor: $1 \cdot (a-1)^2 – 1 \cdot (a+1)^2 = (a-1)^2 – (a+1)^2 = (a^2-2a+1) – (a^2+2a+1) = -4a$
• Segon menor: $1 \cdot (a-1)^2 – 1 \cdot a^2 = (a-1)^2 – a^2 = a^2-2a+1-a^2 = -2a+1$
• Tercer menor: $1 \cdot (a+1)^2 – 1 \cdot a^2 = (a+1)^2 – a^2 = a^2+2a+1-a^2 = 2a+1$

$$\Delta_y = -4a – (-2a+1) + (2a+1) = -4a + 2a – 1 + 2a + 1 = 0$$

• $\Delta_z$: Substituïm la tercera columna:

$$\Delta_z = \begin{vmatrix}
1 & a & 1 \\
1 & a+1 & 1 \\
1 & a-1 & 1
\end{vmatrix}$$

Expandim per la primera columna:

$$\Delta_z = 1 \begin{vmatrix} a+1 & 1 \\ a-1 & 1 \end{vmatrix} – 1 \begin{vmatrix} a & 1 \\ a-1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} a & 1 \\ a+1 & 1 \end{vmatrix}$$

• Primer menor: $(a+1) \cdot 1 – 1 \cdot (a-1) = a+1 – (a-1) = 2$
• Segon menor: $a \cdot 1 – 1 \cdot (a-1) = a – (a-1) = 1$
• Tercer menor: $a \cdot 1 – 1 \cdot (a+1) = a – (a+1) = -1$

$$\Delta_z = 2 – 1 + (-1) = 0$$

Pas 2: Calcular $x$, $y$, $z$

$$x = \frac{\Delta_x}{\det(M)} = \frac{2}{2} = 1, \quad y = \frac{\Delta_y}{\det(M)} = \frac{0}{2} = 0, \quad z = \frac{\Delta_z}{\det(M)} = \frac{0}{2} = 0$$

Pas 3: Discussió

Com que el rang de $M$ és $3$ per a tot $a$, el sistema sempre té una única solució. La solució és:

$$x = 1, \quad y = 0, \quad z = 0$$

Aquesta solució és independent de $a$, ja que el determinant i els valors de $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ no introdueixen dependència de $a$ en la solució final.

Resposta b):

El sistema té una única solució per a tot $a \in \mathbb{R}$:

$$x = 1, \quad y = 0, \quad z = 0$$