Càlcul del contingut en sulfits del vi d’una bodega segons una distribució normal

El contingut total en sulfitos (mesurat en mg/l) del vi que es produeix en una bodega segueix una distribució normal de mitjana $\mu$ mg/l i desviació típica $\sigma$ mg/l. La bodega es compromet a vendre només vins amb un contingut total en sulfitos inferior a $100$ mg/l, per la qual cosa es descarten per a la venda aquells que superen aquesta quantitat. Calcula:

(i) El contingut mitjà i la desviació $mg/l$ de la distribució, sabent que la probabilitat que un vi produït en la bodega es descarti per l’elevada quantitat total de sulfitos és del $5\%$ i que el $75\%$ tenen un contingut total en sulfits que no excedeix els $80$ mg/l.

(ii) El percentatge dels vins produïts en aquesta bodega que tenen un contingut en sulfits entre $60$ i $90$ mg/l.

---

El contingut total en sulfits $X$ segueix una distribució normal $X \sim N(\mu, \sigma$). Necessitem trobar $\mu$ i $\sigma$ a partir de les condicions donades, i després calcular un percentatge.

(i) Càlcul de $\mu$ i $\sigma$

Condició 1: La probabilitat que un vi es descarti per tenir més de $100$ mg/l de sulfits és del $5\%$, és a dir:

$$P(X > 100) = 0,05 \implies P(X \leq 100) = 0,95$$

Estandaritzem la variable $X$:

$$Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$$

Llavors:

$$P\left(\frac{X – \mu}{\sigma} \leq \frac{100 – \mu}{\sigma}\right) = 0,95$$

Sabem que $P(Z \leq z) = 0,95$ implica $z = 1,645$ (valor de la taula de la distribució normal estàndard). Per tant:

$$\frac{100 – \mu}{\sigma} = 1,645 \implies 100 – \mu = 1,645\sigma \quad (1)$$

Condició 2: El $75\%$ dels vins tenen un contingut de sulfitos $\leq 80$ mg/l:

$$P(X \leq 80) = 0,75$$

Estandaritzem:

$$P\left(\frac{X – \mu}{\sigma} \leq \frac{80 – \mu}{\sigma}\right) = 0,75$$

Sabem que $P(Z \leq z) = 0,75$ implica $z = 0,674$ (valor de la taula de la distribució normal). Per tant:

$$\frac{80 – \mu}{\sigma} = 0,674 \implies 80 – \mu = 0,674\sigma \quad (2)$$

Resolució del sistema d’equacions:

Tenim:

$$100 – \mu = 1,645\sigma \quad (1)$$

$$80 – \mu = 0,674\sigma \quad (2)$$

Restem (2) de (1):

$$(100 – \mu) – (80 – \mu) = 1,645\sigma – 0,674\sigma$$

$$20 = 0,971\sigma \implies \sigma = \frac{20}{0,971} \approx 20,598$$

Substituínt $\sigma \approx 20,598$ a l’equació (2):

$$80 – \mu = 0,674 \cdot 20,598 \implies 80 – \mu \approx 13,883 \implies \mu \approx 80 – 13,883 = 66,117$$

Arrodonint:

$$\mu \approx 66,12, \quad \sigma \approx 20,60$$

Resposta (i):

El contingut mitjà és $\mu \approx 66,12$ mg/l i la desviació típica és $\sigma \approx 20,60$ mg/l.

---

(ii) Percentatge de vins amb sulfitos entre $60$ i $90$ mg/l

Calculem:

$$P(60 \leq X \leq 90)$$

Aquestes probabilitats es poden expressar com:

$$P(60 \leq X \leq 90) = P(X \leq 90) – P(X \leq 60)$$

Estandaritzem els valors:

• Per $X = 90$:

$$z = \frac{90 – \mu}{\sigma} = \frac{90 – 66,12}{20,60} \approx \frac{23,88}{20,60} \approx 1,159$$

$$P(Z \leq 1,159) \approx 0,8769 \quad (\text{de la taula de la distribució normal})$$

• Per $X = 60$:

$$z = \frac{60 – 66,12}{20,60} \approx \frac{-6,12}{20,60} \approx -0,297$$

$$P(Z \leq -0,297) \approx 0,3832$$

Llavors:

$$P(60 \leq X \leq 90) = 0,8769 – 0,3832 = 0,4937$$

El percentatge és:

$$0,4937 \cdot 100 \approx 49,37\%$$

Resposta (ii):

El percentatge de vins amb un contingut en sulfitos entre $60$ i $90$ mg/l és aproximadament $49,37\%$.

---

Resposta final:

(i) $\mu \approx 66,12$ mg/l, $\sigma \approx 20,60$ mg/l
(ii) Percentatge entre $60$ i $90$ mg/l: $\approx 49,37\%$