Resolució del Sistema d’Equacions Lineals mitjançant el Mètode de Cramer

Resoleu el següent sistema pel mètode de Cramer: $$\begin{cases}3x – 5y + 2z = -8 \\-4x – 4y – 2z = -5 \\3x – 3y + 3z = 0\end{cases}$$

Per resoldre el sistema d’equacions pel mètode de Cramer, hem de calcular els determinants de la matriu del sistema i de les matrius obtingudes en substituir cada columna pels termes independents. El sistema és:

$$\begin{cases}
3x – 5y + 2z = -8 \\
-4x – 4y – 2z = -5 \\
3x – 3y + 3z = 0
\end{cases}$$

Pas 1: Matriu del sistema i determinant principal ($D$)

La matriu dels coeficients és:

$$A = \begin{bmatrix}
3 & -5 & 2 \\
-4 & -4 & -2 \\
3 & -3 & 3
\end{bmatrix}$$

Els termes independents són:

$$B = \begin{bmatrix}
-8 \\
-5 \\
0
\end{bmatrix}$$

Calculem el determinant de $A$, $D = \det(A)$, usant l’expansió per la primera fila:

$$D = 3 \cdot \det\begin{bmatrix} -4 & -2 \ -3 & 3 \end{bmatrix} – (-5) \cdot \det\begin{bmatrix} -4 & -2 \ 3 & 3 \end{bmatrix} + 2 \cdot \det\begin{bmatrix} -4 & -4 \ 3 & -3 \end{bmatrix}$$

Calculem cada determinant 2×2:

1. $\det\begin{bmatrix} -4 & -2 \ -3 & 3 \end{bmatrix} = (-4)(3) – (-2)(-3) = -12 – 6 = -18$
2. $\det\begin{bmatrix} -4 & -2 \ 3 & 3 \end{bmatrix} = (-4)(3) – (-2)(3) = -12 – (-6) = -6$
3. $\det\begin{bmatrix} -4 & -4 \ 3 & -3 \end{bmatrix} = (-4)(-3) – (-4)(3) = 12 – (-12) = 24$

Substituïm:

$$D = 3(-18) – (-5)(-6) + 2(24) = -54 – 30 + 48 = -36$$

Com $D \neq 0$, el sistema té una única solució.

Pas 2: Determinant per $x$ ($D_x$)

Substituïm la primera columna de $A$ pels termes independents:

$$A_x = \begin{bmatrix}
-8 & -5 & 2 \\
-5 & -4 & -2 \\
0 & -3 & 3
\end{bmatrix}$$

Calculem $D_x = \det(A_x)$, expandint per la primera fila:

$$D_x = -8 \cdot \det\begin{bmatrix} -4 & -2 \\ -3 & 3 \end{bmatrix} – (-5) \cdot \det\begin{bmatrix} -5 & -2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} + 2 \cdot \det\begin{bmatrix} -5 & -4 \\ 0 & -3 \end{bmatrix}$$

Calculem:

1. $\det\begin{bmatrix} -4 & -2 \ -3 & 3 \end{bmatrix} = -18$ (ja calculat)
2. $\det\begin{bmatrix} -5 & -2 \ 0 & 3 \end{bmatrix} = (-5)(3) – (-2)(0) = -15 – 0 = -15$
3. $\det\begin{bmatrix} -5 & -4 \ 0 & -3 \end{bmatrix} = (-5)(-3) – (-4)(0) = 15 – 0 = 15$

Substituïm:

$$D_x = -8(-18) – (-5)(-15) + 2(15) = 144 – 75 + 30 = 99$$

Pas 3: Determinant per $y$ ($D_y$)

Substituïm la segona columna:

$$A_y = \begin{bmatrix}
3 & -8 & 2 \\
-4 & -5 & -2 \\
3 & 0 & 3
\end{bmatrix}$$

Calculem $D_y = \det(A_y)$, expandint per la primera fila:

$$D_y = 3 \cdot \det\begin{bmatrix} -5 & -2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} – (-8) \cdot \det\begin{bmatrix} -4 & -2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} + 2 \cdot \det\begin{bmatrix} -4 & -5 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$$

Calculem:

1. $\det\begin{bmatrix} -5 & -2 \ 0 & 3 \end{bmatrix} = -15$ (ja calculat)
2. $\det\begin{bmatrix} -4 & -2 \ 3 & 3 \end{bmatrix} = -6$ (ja calculat)
3. $\det\begin{bmatrix} -4 & -5 \ 3 & 0 \end{bmatrix} = (-4)(0) – (-5)(3) = 0 – (-15) = 15$

Substituïm:

$$D_y = 3(-15) – (-8)(-6) + 2(15) = -45 – 48 + 30 = -63$$

Pas 4: Determinant per $z$ ($D_z$)

Substituïm la tercera columna:

$$A_z = \begin{bmatrix}
3 & -5 & -8 \\
-4 & -4 & -5 \\
3 & -3 & 0
\end{bmatrix}$$

Calculem $D_z = \det(A_z)$, expandint per la primera fila:

$$D_z = 3 \cdot \det\begin{bmatrix} -4 & -5 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} – (-5) \cdot \det\begin{bmatrix} -4 & -5 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} + (-8) \cdot \det\begin{bmatrix} -4 & -4 \\ 3 & -3 \end{bmatrix}$$

Calculem:

1. $\det\begin{bmatrix} -4 & -5 \ -3 & 0 \end{bmatrix} = (-4)(0) – (-5)(-3) = 0 – 15 = -15$
2. $\det\begin{bmatrix} -4 & -5 \ 3 & 0 \end{bmatrix} = 15$ (ja calculat)
3. $\det\begin{bmatrix} -4 & -4 \ 3 & -3 \end{bmatrix} = 24$ (ja calculat)

Substituïm:

$$D_z = 3(-15) – (-5)(15) + (-8)(24) = -45 + 75 – 192 = -162$$

Pas 5: Solució

Segons el mètode de Cramer:

$$x = \frac{D_x}{D} = \frac{99}{-36} = -\frac{11}{4}, \quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{-63}{-36} = \frac{7}{4}, \quad z = \frac{D_z}{D} = \frac{-162}{-36} = \frac{9}{2}$$

Resposta final:

$$\boxed{x = -\dfrac{11}{4}, \quad y = \dfrac{7}{4}, \quad z = \dfrac{9}{2}}$$