Anàlisi de la proporció d’estudiants que escullen graus d’humanitats: Probabilitats i tendències

La variable aleatòria $X$, que representa la proporció d’estudiants que escullen estudiar un grau d’humanitats, segueix una distribució normal amb mitjana $\mu = 0.35$ i desviació típica $\sigma = 0.1$, és a dir, $X \sim N(0.35, 0.1)$.

a) Probabilitat que més del $45\%$ dels estudiants estudiïn un grau d’humanitats

Hem de calcular $P(X > 0.45)$.

1. Estandardització:
   Per a una variable aleatòria normal $X \sim N(\mu, \sigma)$, es pot estandarditzar a una normal estàndard $Z \sim N(0, 1)$ amb la fórmula:
   $$Z = \frac{X – \mu}{\sigma}$$
   Substituïm els valors:
   $$Z = \frac{0.45 – 0.35}{0.1} = \frac{0.1}{0.1} = 1$$
   Així, $P(X > 0.45) = P(Z > 1)$.
2. Càlcul de la probabilitat:
   La probabilitat $P(Z > 1)$ es calcula utilitzant la taula de la distribució normal estàndard o una calculadora estadística. Sabem que:
   $$P(Z \leq 1) \approx 0.8413$$
   Per tant:
   $$P(Z > 1) = 1 – P(Z \leq 1) = 1 – 0.8413 = 0.1587$$
3. Resposta:
   La probabilitat que més del $45\%$ dels estudiants estudiïn un grau d’humanitats és:
   $$P(X > 0.45) \approx 0.1587 \text{ (o 15.87%)}$$

b) Nombre d’anys en els darrers $10$ anys en què el percentatge no ha superat el $30\%$

Hem de calcular en quants anys, dels darrers $10$, el percentatge d’estudiants que han escollit humanitats ha estat $X \leq 0.3$. Això implica trobar la probabilitat $P(X \leq 0.3)$

1. Càlcul de $P(X \leq 0.3)$:
   Estandarditzem:
   $$Z = \frac{0.3 – 0.35}{0.1} = \frac{-0.05}{0.1} = -0.5$$
   Així, $P(X \leq 0.3) = P(Z \leq -0.5)$. Utilitzant la taula de la distribució normal estàndard:
   $$P(Z \leq -0.5) = 1 – P(Z \leq 0.5)$$
   Sabem que $P(Z \leq 0.5) \approx 0.6915$, per tant:
   $$P(Z \leq -0.5) = 1 – 0.6915 = 0.3085$$ Així, la probabilitat que el percentatge d’estudiants que escullen humanitats no superi el $30\%$ és:
   $$P(X \leq 0.3) \approx 0.3085$$

1. Resposta:
   En els darrers $10$ anys, s’espera que en aproximadament $3$ anys el percentatge d’estudiants que han escollit \humanitats no hagi superat el $30%$. (Si es demana un valor exacte, es pot dir $3$, basant-se en l’esperança arrodonida i la probabilitat més alta.)

Resum de respostes:

a) La probabilitat que més del $45\%$ dels estudiants estudiïn un grau d’humanitats és $0.1587$ ($15.87\%$).
b) En els darrers $10$ anys, s’espera que en $3$ anys el percentatge d’estudiants que han escollit humanitats no hagi superat el $30\%$.