Resolució del problema de les edats

Troba les edats actuals d’una mare i els seus dos fills sabent que fa $9$ anys l’edat de la mare era $4$ vegades la suma de les edats dels fills en aquell moment, que d’aquí a $18$ anys l’edat de la mare serà la suma de les edats que tindran els fills en aquell moment i que quan el fill gran tingui l’edat actual de la mare, el fill petit tindrà $42$ anys.

Sigui \( M \) l’edat actual de la mare, \( A \) l’edat actual del fill gran i \( B \) l’edat actual del fill petit (amb \( A > B \)).

D’acord amb la segona condició: d’aquí a 18 anys, l’edat de la mare serà igual a la suma de les edats dels fills en aquell moment. Això dona:

\[M + 18 = (A + 18) + (B + 18)\]

\[M + 18 = A + B + 36\]

\[M = A + B + 18 \quad (1)\]

D’acord amb la tercera condició: quan el fill gran tingui l’edat actual de la mare \( M \), el fill petit tindrà 42 anys. El temps fins aleshores és \( M – A \) anys. Per tant:

\[B + (M – A) = 42\]

\[M = A – B + 42 \quad (2)\]

Igualem les equacions (1) i (2):

\[A + B + 18 = A – B + 42\]

\[B + 18 = -B + 42\]

\[2B = 24\]

\[B = 12\]

Substituïm \( B = 12 \) a l’equació (1):

\[M = A + 12 + 18\]

\[M = A + 30\]

D’acord amb la primera condició: fa 9 anys, l’edat de la mare era 4 vegades la suma de les edats dels fills en aquell moment:

\[M – 9 = 4((A – 9) + (B – 9))\]

\[M – 9 = 4(A + B – 18)\]

Substituïm \( M = A + 30 \) i \( B = 12 \):

\[A + 30 – 9 = 4(A + 12 – 18)\]

\[A + 21 = 4(A – 6)\]

\[A + 21 = 4A – 24\]

\[21 + 24 = 4A – A\]

\[45 = 3A\]

\[A = 15\]

Aleshores:

\[M = 15 + 30 = 45\]

Les edats actuals són: la mare té $45$ anys, el fill gran té $15$ anys i el fill petit té $12$ anys.