Problema de la Selectivitat, Castella-La Manxa, setembre 2016

He comprat $5$ kg d’ametlles, $3$ kg d’avellanes i $2$ kg de cacauets, i he pagat per tot plegat $98$ euros. La diferència entre el preu per kg de les avellanes i dels cacauets és igual al preu per kg de les ametlles. Si hagués comprat $1$ kg de cada fruit sec, hauria pagat $32$ euros.

Siguin $x, y, z$ els preus per kg d’ametlles, avellanes i cacauets, respectivament. El sistema és:

$$\begin{cases}
5x + 3y + 2z = 98 \\
y – z = x \\
x + y + z = 32
\end{cases}$$

Reescrivim totes les equacions en forma estàndard:

$$\begin{cases}5x + 3y + 2z &= 98 \\-x + y – z &= 0 \\x + y + z &= 32\end{cases}$$

b) Resolució mitjançant el mètode de Gauss

Matriu augmentada del sistema:

$$\left[
\begin{array}{ccc|c}
5 & 3 & 2 & 98 \\
-1 & 1 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 32
\end{array}
\right]$$

$\textbf{Pas 1:}$ Intercanviem F1 i F2:

$$\left[
\begin{array}{ccc|c}
-1 & 1 & -1 & 0 \\
5 & 3 & 2 & 98 \\
1 & 1 & 1 & 32
\end{array}
\right]$$

$\textbf{Pas 2:}$ Multipliquem F1 per (-1):

$$\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & 1 & 0 \\
5 & 3 & 2 & 98 \\
1 & 1 & 1 & 32
\end{array}
\right]$$

$\textbf{Pas 3:}$ F2 – 5·F1 i F3 – F1:

$$\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 8 & -3 & 98 \\
0 & 2 & 0 & 32
\end{array}
\right]$$

$\textbf{Pas 4:}$ F3 – $\frac{1}{4}$·F2:

$$\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 8 & -3 & 98 \\
0 & 0 & 0.75 & 7.5
\end{array}
\right]$$

Substitució regressiva

De la tercera fila:
$$0.75z = 7.5 \Rightarrow z = 10$$

De la segona fila:
$$8y – 3z = 98 \Rightarrow 8y – 30 = 98 \Rightarrow y = 16$$

De la primera fila:
$$x – y + z = 0 \Rightarrow x – 16 + 10 = 0 \Rightarrow x = 6$$

Solució final

$$\begin{cases}x = 6 \quad (\text{ametlles}) \\ y = 16 \quad (\text{avellanes}) \\ z = 10 \quad (\text{cacauets})\end{cases}$$