Resolució de Sistemes d’Equacions Lineals i Projeccions Ortogonals

Troba l’equació de la recta projecció ortogonal de: \[r: \begin{cases}x – 2y + 5z = 9 \\-2x + 3y + z + 3 = 0\end{cases}\] sobre el pla d’equació: \[2x + 2y – z + 6 = 0\]

La projecció ortogonal de \( r \) sobre el pla, és la intersecció d’aquest pla amb el pla que conté la recta i és perpendicular al pla donat.\[r: \begin{cases}x – 2y + 5z = 9 \\-2x + 3y + z + 3 = 0\end{cases} \rightarrow r: \begin{cases}x = -21 + 17\lambda \\y = -15 + 11\lambda \\z = \lambda\end{cases}\].

Equació del pla: \[\begin{vmatrix}x + 21 & 17 & 2 \\y + 15 & 11 & 2 \\z & 1 & -1\end{vmatrix} = 0 \rightarrow -13x + 19y + 12z + 12 = 0\]

La recta projecció és: \[r’: \begin{cases}2x + 2y – z + 6 = 0 \\-13x + 19y + 12z + 12 = 0\end{cases}\]