Posició relativa de dues rectes

Estudia la posició relativa de les rectes \( r \) i \( r’ \) \[r: \frac{2x-1}{4} = \frac{4y-1}{2} = z\]\[r’: \begin{cases}3x – y + 3z = 0 \\x + 4y + z = 0\end{cases}\]

\[r: \begin{cases}x = \frac{1}{2} + 2\lambda \\y = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\lambda \\z = \lambda\end{cases}\]\[r’: \begin{cases}3x – y + 3z = 0 \\x + 4y + z = 0\end{cases} \rightarrow \begin{cases}x = \mu \\y = 0 \\z = -\mu\end{cases}\]

Els vectors directors: \( \vec{v} = \left( 2, \frac{1}{2}, 1 \right) \) i \( \vec{u} = (1, 0, -1) \)No són proporcionals, per tant, les rectes no són paral·leles. Estudiem el determinant format pels vectors \( \vec{v} \), \( \vec{u} \) i \( \overrightarrow{PP’} \) amb un punt de cada recta: \[\overrightarrow{PP’} = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, 0 \right)\]\[\begin{vmatrix}2 & 1 & \frac{1}{2} \\\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{4} \\1 & -1 & 0\end{vmatrix} = 1 \neq 0 \rightarrow \text{les rectes s’encreuen.}\]