Relació entre el color d’ulls dels pares i dels fills: Anàlisi estadística

Investigar la relació entre el fet de que un individu tingui els ulls foscos (suceso \( T_D \)) i el fet de que el seu pare també tingui els ulls foscos (succés \( T_P \)). Investiguem aquesta relació a partir de les dades estadístiques extretes del cens poblacional d’Anglaterra i Wells de l’any 1891. Els homes d’ulls foscos amb fills d’ulls foscos (\( T_D T_h \)) són el 5% dels casos registrats; els homes d’ulls foscos amb fills d’ulls clars (\( T_D \overline{T_h} \)) constitueixen el 7,9%; els homes d’ulls clars amb fills d’ulls foscos (\( \overline{T_D} T_h \)) són el 8,9% i, finalment, els homes d’ulls clars amb fills d’ulls clars (\( \overline{T_D} \overline{T_h} \)) són el 78,2%.

Per estimar la relació entre el fet que el pare tingui els ulls foscos i el fet que el fill tingui els ulls foscos, calculem les probabilitats condicionades \( P\{ T_h | T_P \} \) i \( P\{ T_D | T_P \} \), i comparem els resultats amb la probabilitat no condicionada \( P\{ T_h \} \) corresponent. Per definició tenim: \[P\{ T_h | T_P \} = \frac{P\{ T_P T_h \}}{P\{ T_P \}}.\] Les condicions del problema permeten realitzar la següent estimació de les probabilitats:\[P\{ T_P T_h \} = 0,05, \quad P\{ T_D \overline{T_h} \} = 0,079,\] \[P\{ \overline{T_D} T_h \} = 0,089, \quad P\{ \overline{T_D} \overline{T_h} \} = 0,782.\] Com \( T_D T_h + T_D \overline{T_h} = T_P \), llavors \( P\{ T_P \} = P\{ T_D T_h \} + P\{ T_D \overline{T_h} \} = 0,129\). D’aquí segueix que \[P\{ T_h | T_P \} = \frac{P\{ T_P T_h \}}{P\{ T_P \}} = \frac{0,05}{0,129} = 0,3876.\] A més, \( T_D T_h + \overline{T_D} T_h = T_h \) i \( P\{ T_h \} = P\{ T_D T_h \} + P\{ \overline{T_D} T_h \} = 0,139\). Comparant els valors de les probabilitats condicionada i no condicionada, concloem que els successos \(\{ \text{fills d’ulls foscos} \}\) i \(\{ \text{pare d’ulls foscos} \}\) estan relacionats: entre individus d’ulls foscos es troben fills d’ulls foscos gairebé tres vegades més que en el total dels casos registrats. A propòsit, aproximadament 6 de cada 10 individus d’ulls foscos tenen fills d’ulls clars:\[P\{ T_h | T_P \} = 1 – P\{ T_h | T_P \} = 0,6124.\]Calculem ara la probabilitat \( P\{ T_h | \overline{T_P} \} \). Raonant de manera semblant a la que acabem de fer, ens proporcional:\[P\{ T_h | \overline{T_P} \} = \frac{P\{ \overline{T_P} T_h \}}{P\{ \overline{T_P} \}} = 0,1022.\] En resum, els individus d’ulls clars poden, en general, tenir fills d’ulls foscos, però amb menor freqüència que els fills d’ulls clars. Aproximadament, en 1 de cada 10 casos els pares d’ulls clars tenen fills d’ulls foscos i en 9 casos tenen fills d’ulls clars.