Recinte Rectangular per a un Ramat amb un Canal d’Aigua

Es vol tancar un petit ramat en un recinte rectangular limitat per un canal d’aigua en un dels seus costats i una tanca metàl·lica en els altres tres costats. Sabem que l’àrea del recinte ha de ser de $400$ m$^2$. Es demana calcular la longitud mínima que ha de tenir la tanca.

1. Definició de variables:

• Sigui \( L \) la longitud del costat paral·lel al canal (que no necessita tanca).

• Sigui \( W \) la longitud dels costats perpendiculars al canal (que necessiten tanca).

• L’àrea del rectangle és \( L \cdot W = 400 \), per tant, \( W = \frac{400}{L} \).

2. Longitud de la tanca:

La tanca cobreix tres costats: els dos costats de longitud \( W \) i el costat oposat al canal de longitud \( L \). La longitud total de la tanca \( P \) és: \[ P = L + 2W = L + 2 \cdot \frac{400}{L} = L + \frac{800}{L}. \]

3. Minimització de la longitud de la tanca:

• Hem de minimitzar la funció \( P(L) = L + \frac{800}{L} \), amb \( L > 0 \).

• Derivem \( P(L) \) respecte a \( L \): \[ P'(L) = 1 – \frac{800}{L^2}. \]

• Igualem la derivada a zero per trobar el punt crític: \[ 1 – \frac{800}{L^2} = 0 \implies \frac{800}{L^2} = 1 \implies L^2 = 800 \implies L = \sqrt{800} = 20\sqrt{2}. \]

• Calculem \( W \): \[ W = \frac{400}{L} = \frac{400}{20\sqrt{2}} = \frac{400}{20\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{400\sqrt{2}}{40} = 10\sqrt{2}. \]

4. Longitud mínima de la tanca:

• Substituint \( L = 20\sqrt{2} \) a l’expressió de \( P \): \[ P = L + \frac{800}{L} = 20\sqrt{2} + \frac{800}{20\sqrt{2}} = 20\sqrt{2} + \frac{800}{20\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2} + \frac{800\sqrt{2}}{40} = 20\sqrt{2} + 20\sqrt{2} = 40\sqrt{2}. \]

• Numericament, \( 40\sqrt{2} \approx 40 \cdot 1.414 \approx 56.56 \, \text{m} \).

Resposta: La longitud mínima que ha de tenir la tanca és \( 40\sqrt{2} \) metres, aproximadament 56.56 metres.