Càlcul de Probabilitats amb Urnes i Boles de Colors

Tenim tres urnes \( U_1, U_2, U_3 \) amb boles de color B blanc, N negre i V verd. La composició de les urnes és: \[U_1(1B, 2N, 3V), U_2(2B, 3N, 4V), U_3(4B, 7N, 5V)\] Triem una urna a l’atzar i agafem una bola sense mirar, volem calcular: a) La probabilitat que sigui verda. b) La probabilitat que si la bola ha sortit blanca, provingui de la tercera urna.

En aquest cas \( \Omega = \{31 \text{ boles}\} \) i si anem \( U_i \) el conjunt associat al succés “treure bola de la urna \( U_i \)”, llavors \( \Omega = U_1 \cup U_2 \cup U_3 \) i \( U_i \cap U_j = \emptyset \). Si considerem els successos \( V \) “treure bola verda”, i \( B \) “treure bola blanca”: \[P(V) = P(V/U_1) \cdot P(U_1) + P(V/U_2) \cdot P(U_2) + P(V/U_3) \cdot P(U_3) =\] \[= \frac{3}{6} \cdot \frac{1}{3} + \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} + \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{3} = 0.419\] \[P(U_3/B) = \frac{P(B/U_3) \cdot P(U_3)}{P(B/U_1) \cdot P(U_1) + P(B/U_2) \cdot P(U_2) + P(B/U_3) \cdot P(U_3)} =\] \[= \frac{\frac{4}{16} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{3} + \frac{4}{16} \cdot \frac{1}{3}} = 0.391.\]