Probabilitat de Peces Defectuoses: Anàlisi amb Diagrama d’Arbre

Suposem que tenim dues màquines A i B que han produït respectivament 100 i 200 peces del mateix tipus, les quals han sigut amagatzemades en un mateix contenidor. Si sabem que A n’ha produït un 5% de defectuoses i B un 6%, es tracta de calcular la probabilitat que una peça triada a l’atzar sigui defectuosa.

Considerem Ω = {tres-centes peces} i els esdeveniments: \[A = \{\text{peces produïdes per la màquina A}\},\] \[B = \{\text{peces produïdes per la màquina B}\},\] \[D = \{\text{peces defectuoses}\}.\] En aquest cas \{A, B\} és una partició de Ω, observant els diagrames que clara la resolució del problema que els segueix: \[P(D/A) = 0.05 \quad \text{(probabilitat que una peça sigui defectuosa si és de la màquina A)},\] \[P(D/B) = 0.06 \quad \text{(probabilitat que una peça sigui defectuosa si és de la màquina B)},\] \[P(A) = \frac{1}{3} \quad \text{(probabilitat que una peça sigui de la màquina A)},\] \[P(B) = \frac{2}{3} \quad \text{(probabilitat que una peça sigui de la màquina B)}.\]

Notem que \( D = D \cap \Omega = D \cap (A \cup B) = (D \cap A) \cup (D \cap B) \). D’altra banda, \((D \cap A) \cap (D \cap B) = D \cap (A \cap B) = D \cap \emptyset = \emptyset\), i per tant: \[P(D) = P((D \cap A) \cup (D \cap B)) = P(D \cap A) + P(D \cap B) =\] \[= P(D/A) \cdot P(A) + P(D/B) \cdot P(B) = 0.05 \cdot \frac{1}{3} + 0.06 \cdot \frac{2}{3} = \frac{17}{300} = 0.0567.\]