Probabilitat de Selecció de Malalts en un Hospital

En un hospital hi ha 10 malalts: tres neuròtics, cinc psicòpates i dos esquizofrènics. Se’n trien tres a l’atzar: a) Troba la probabilitat que els tres tinguen malalties diferents. b) Troba la probabilitat que els tres tinguen la mateixa malaltia.

Dades inicials:

• Total de malalts: 10.

• Tipus de malalties:

• Neuròtics (N): 3.

• Psicòpates (P): 5.

• Esquizofrènics (E): 2.

• Es trien 3 malalts a l’atzar, sense reemplaçament.

a) Probabilitat que els tres tinguen malalties diferents:

• Perquè els tres tinguen malalties diferents, cal triar un malalt de cada tipus: un neuròtic (N), un psicòpata (P) i un esquizofrènic (E).

• Nombre de maneres de triar un de cada tipus:
• Neuròtics: \( 3 \) maneres.
• Psicòpates: \( 5 \) maneres.
• Esquizofrènics: \( 2 \) maneres.

• Total de maneres favorables: \( 3 \cdot 5 \cdot 2 = 30 \).

• Nombre total de maneres de triar 3 malalts d’entre 10 (sense importar l’orde, ja que no es distingeixen els individus dins d’un mateix tipus): \[ \binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120. \]

• Probabilitat: \[ P(\text{diferents}) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos totals}} = \frac{30}{120} = \frac{1}{4} = 0.25. \]

b) Probabilitat que els tres tinguen la mateixa malaltia:

• Els tres han de ser del mateix tipus: tots neuròtics, tots psicòpates o tots esquizofrènics.

• Calculem els casos favorables per a cada tipus:

• Tots neuròtics: Triar 3 neuròtics d’entre 3: \[ \binom{3}{3} = 1. \]

• Tots psicòpates: Triar 3 psicòpates d’entre 5: \[ \binom{5}{3} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10. \]

• Tots esquizofrènics: Triar 3 esquizofrènics d’entre 2: \[ \binom{2}{3} = 0 \quad (\text{no és possible, ja que només hi ha 2 esquizofrènics}). \]

• Total de casos favorables: \( 1 + 10 + 0 = 11 \).- Nombre total de maneres de triar 3 malalts d’entre 10: \[ \binom{10}{3} = 120 \quad (\text{com abans}). \]

• Probabilitat: \[ P(\text{mateixa malaltia}) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos totals}} = \frac{11}{120} \approx 0.0917. \]

Resposta final:

a) La probabilitat que els tres tinguen malalties diferents és \( \frac{1}{4} =0.25 \).

b) La probabilitat que els tres tinguen la mateixa malaltia és \( \frac{11}{120} \approx 0.0917 \).