Raó entre radis d’òrbites i acceleracions

El període de revolució de Júpiter en la seva òrbita al voltant del Sol és aproximadament $12$ vegades més gran que el de la Terra en la seva òrbita respectiva. Considerant que les òrbites dels dos planetes són circulars, determina: a) La raó entre els radis de les respectives òrbites. b) La raó entre les acceleracions dels dos planetes en les seves òrbites.

a) De la tercera llei de Kepler es dedueix la relació entre els radis de les dues òrbites:

\begin{equation}
\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{R_1^3}{R_2^3}
\end{equation}

D’aquesta expressió, obtenim:

\begin{equation}
\frac{R_1}{R_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^{\frac{2}{3}} = \left( 12^2 \right)^{\frac{1}{3}} = 5,2
\end{equation}

Per tant:

\begin{equation}
R_1 = 5,2 R_2
\end{equation}

b) Relació entre les acceleracions centrípetes

Per trobar l’acceleració centrípeta dels dos planetes, igualem la força gravitacional amb la força centrípeta:

\begin{equation}
m \frac{v^2}{R} = G \frac{M m}{R^2}
\end{equation}

D’acord amb aquesta igualtat, l’acceleració centrípeta de cada planeta és:

\begin{equation}
a_1 = \frac{v_1^2}{R_1} = \frac{G M_s}{R_1^2}
\end{equation}

\begin{equation}
a_2 = \frac{v_2^2}{R_2} = \frac{G M_s}{R_2^2}
\end{equation}

La seva relació ve donada per:

\begin{equation}
\frac{a_1}{a_2} = \frac{R_2^2}{R_1^2} = \frac{R_2^2}{(5,2)^2 R_2^2} = \frac{1}{27} = 0,04
\end{equation}

Així doncs:

\begin{equation}
a_1 = 0,04 a_2
\end{equation}