País Basc. EAU Extraordinària 2021. Exercici A5

Dels 700 estudiants que té un centre escolar se sap que 500 procedeixen del barri on és ubicat el centre, 575 utilitzen el servei de menjador i 400 són del barri i utilitzen el servei de menjador. S’escull un estudiant a l’atzar: a) Si és del barri, quina és la probabilitat que faci servir el menjador? b) Si utilitzeu el servei de menjador, quina és la probabilitat que no procedeixi del barri? c) Quina és la probabilitat que sigui del barri o faci servir el servei de menjador? d) Quina és la probabilitat que no sigui del barri ni utilitzi el servei de menjador?

Definim els següents esdeveniments:

• $B$: L’estudiant és del barri.
• $C$: L’estudiant utilitza el servei de menjador.

Se’ns proporciona la informació següent:
\begin{equation}
P(B) = \frac{500}{700}
\end{equation}
\begin{equation}
P(C) = \frac{575}{700}
\end{equation}
\begin{equation}
P(B \cap C) = \frac{400}{700}
\end{equation}

a) Si l’estudiant és del barri, quina és la probabilitat que utilitzi el menjador?

Busquem $P(C | B)$, que es calcula com:

\begin{equation}
P(C | B) = \displaystyle\frac{P(B \cap C)}{P(B)} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{400}{700}}{\displaystyle\frac{500}{700}} = \displaystyle\frac{400}{500} = 0.8
\end{equation}

b) Si l’estudiant utilitza el servei de menjador, quina és la probabilitat que no sigui del barri?

Busquem $P(B^c | C)$, que es calcula com:

\begin{equation}
P(B^c | C) = 1 – P(B | C)
\end{equation}

Primer, calculem $P(B | C)$:

\begin{equation}
P(B | C) = \displaystyle\frac{P(B \cap C)}{P(C)} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{400}{700}}{\displaystyle\frac{575}{700}} = \displaystyle\frac{400}{575} \approx 0.6957
\end{equation}

Per tant,

\begin{equation}
P(B^c | C) = 1 – 0.6957 = 0.3043
\end{equation}

c) Quina és la probabilitat que l’estudiant sigui del barri o utilitzi el servei de menjador?

Busquem $P(B \cup C)$, que es calcula amb la fórmula de la unió:

\begin{equation}
P(B \cup C) = P(B) + P(C) – P(B \cap C)
\end{equation}

\begin{equation}
P(B \cup C) = \frac{500}{700} + \frac{575}{700} – \frac{400}{700} = \frac{675}{700} = 0.9643
\end{equation}

d) Quina és la probabilitat que l’estudiant no sigui del barri ni utilitzi el servei de menjador?

Busquem $P(B^c \cap C^c)$, que és el complement de $P(B \cup C)$:

\begin{equation}
P(B^c \cap C^c) = 1 – P(B \cup C) = 1 – 0.9643 = 0.0357
\end{equation}

Resum de resultats

• a) $P(C | B) = 0.8$
• b) $P(B^c | C) \approx 0.3043$
• c) $P(B \cup C) \approx 0.9643$
• d) $P(B^c \cap C^c) \approx 0.0357$