Punt de tall de les diagonals d’un paral·lelogram i la seva àrea

Donats els punts $A(1, 0, -1)$, $B(2, 1, 0)$ i $C(0, 0, -1)$, determina un altre punt $D$ de manera que $ABCD$ siguin vèrtexs consecutius d’un paral·lelogram. Determina el punt de tall de les seves diagonals i l’àrea d’aquest paral·lelogram.

Si $ABCD$ són vèrtexs consecutius d’un paral·lelogram, ha de complir que els vectors lliures $\overline{AB}$ i $\overline{DC}$ siguin iguals.

Si $D = (a, b, c)$, llavors $\overline{DC} = (0, 0, -1) – (a, b, c) = (-a, -b, -1 – c)$.
Com $\overline{AB} = (1, 1, 1) – (1, 0, -1) = (0, 1, 1)$, es té:
$(1, 1, 1) = (-a, -b, -1 – c) \Rightarrow D = (-1, -1, -2)$.

El punt de corte de les diagonals coincideix amb el punt mitjà d’una d’elles, per exemple, la diagonal $AC$. Les seves coordenades són:
$M = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{-1-1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, -1\right)$.

L’àrea del paral·lelogram és igual al mòdul del producte vectorial de dos dels vectors que determinen les seves costats: $S = |\overline{AB} \times \overline{AD}|$.

Per tant: $$\overline{AB} \times \overline{AD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & -1 \end{vmatrix} = (0, -1, 1) \Rightarrow S = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} \, \text{u}^2$$.

Edició en provençal