Anàlisi de la matriu i resolució del sistema lineal per a un paràmetre específic

Considerem la matriu $$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\ \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda\end{pmatrix}$$ a) Trobar els valors de $\lambda$ per als quals la matriu $A$ no té inversa. b) Prenent $\lambda=1$, resoldre el sistema escrit en forma matricial $$A\begin{pmatrix}x\\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$$

1. Trobar els valors de $\lambda$ per als quals la matriu $A$ no té inversa

Una matriu no té inversa si el seu determinant és igual a zero. Calculem el determinant de la matriu $A$:

$$
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda \end{pmatrix}
$$

El determinant d’una matriu 3×3 es calcula com:

$$
\det(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} – a_{23}a_{32}) – a_{12}(a_{21}a_{33} – a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} – a_{22}a_{31})
$$

Substituint els valors de $A$:

• $a_{11} = 1$, $a_{12} = 2$, $a_{13} = 1$
• $a_{21} = \lambda$, $a_{22} = 1$, $a_{23} = 0$
• $a_{31} = 0$, $a_{32} = 1$, $a_{33} = \lambda$

Calculem cada terme:

1. Primer terme: $a_{11}(a_{22}a_{33} – a_{23}a_{32}) = 1 \cdot (1 \cdot \lambda – 0 \cdot 1) = 1 \cdot \lambda = \lambda$
2. Segon terme: $-a_{12}(a_{21}a_{33} – a_{23}a_{31}) = -2 \cdot (\lambda \cdot \lambda – 0 \cdot 0) = -2 \cdot \lambda^2 = -2\lambda^2$
3. Tercer terme: $a_{13}(a_{21}a_{32} – a_{22}a_{31}) = 1 \cdot (\lambda \cdot 1 – 1 \cdot 0) = 1 \cdot \lambda = \lambda$

Així, el determinant és:

$$
\det(A) = \lambda – 2\lambda^2 + \lambda = -2\lambda^2 + 2\lambda
$$

Factoritzem:

$$
\det(A) = -2\lambda^2 + 2\lambda = -2\lambda(\lambda – 1)
$$

Perquè la matriu $A$ no tingui inversa, el determinant ha de ser zero:

$$
-2\lambda(\lambda – 1) = 0
$$

Això implica:

$$
\lambda = 0 \quad \text{o} \quad \lambda – 1 = 0 \implies \lambda = 1
$$

Per tant, els valors de $\lambda$ per als quals la matriu $A$ no té inversa són:

$$\lambda = 0, \quad \lambda = 1$$

2. Resoldre el sistema amb $\lambda = 1$

Prenem $\lambda = 1$ i considerem el sistema matricial:

$$
A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
$$

Substituint $\lambda = 1$ a la matriu $A$:

$$
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
$$

El sistema es converteix en:

$$
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
$$

Aquest és un sistema homogeni, és a dir, $Ax = 0$. Com que $\lambda = 1$ és un dels valors per als quals $\det(A) = 0$, la matriu $A$ és singular, i el sistema tindrà infinites solucions (almenys la solució trivial $x = y = z = 0$). Per trobar totes les solucions, apliquem el mètode d’eliminació gaussiana.

Escrivim la matriu augmentada (com que el vector de la dreta és zero, la matriu augmentada és simplement $A$ amb una columna de zeros):

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 0 \\ 1 & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \end{pmatrix}$$

Pas 1: Restem la primera fila a la segona per eliminar l’1 a la posició (2,1):

$$R_2 \gets R_2 – R_1$$

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 0 \\ 0 & -1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \end{pmatrix}$$

Pas 2: Sumem la segona fila a la tercera per eliminar l’1 a la posició (3,2):

$$R_3 \gets R_3 + R_2$$

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 0 \\ 0 & -1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$$

La matriu resultant indica que el sistema té infinites solucions, ja que l’última fila és tot zeros (equació $0 = 0$)\. Simplifiquem la segona fila multiplicant per $-1$:

$$R_2 \gets -R_2$$

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$$

A partir d’aquí, expressem les variables. De la segona fila:

$$y + z = 0 \implies y = -z$$

Substituint $y = -z$ a la primera fila:

$$x + 2y + z = 0 \implies x + 2(-z) + z = 0 \implies x – 2z + z = 0 \implies x – z = 0 \implies x = z$$

Així, les solucions tenen la forma:

$$x = z, \quad y = -z$$

Podem expressar la solució en termes d’un paràmetre lliure $t$, on $z = t$:

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ -t \\ t \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$$

Resposta final

1. Els valors de $\lambda$ per als quals la matriu $A$ no té inversa són:

$$\lambda = 0, \quad \lambda = 1$$

2. Per $\lambda = 1$, les solucions del sistema $A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}$ són:

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$$