Càlcul àrea triangle

Determina el valor de $a$ perquè els punts $A(1, 0, 1)$, $B(1, 1, 1)$ i $C(1, 6, a)$ siguin els vèrtexs d’un triangle d’àrea $3/2$.

L’àrea del triangle que determinen els punts $A$, $B$ i $C$ ve donada per $S = \frac{1}{2} |\overline{AB} \times \overline{AC}|$.

En este cas:
$\overline{AB} = (1, 1, 1) – (1, 0, 1) = (0, 1, 0)); (\overline{AC} = (1, 6, a) – (1, 0, 1) = (0, 6, a – 1)$.

Llavors:
$\overline{AB} \times \overline{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & a-1 \end{vmatrix} = (a-1, 0, 0) \Rightarrow$
$|\overline{AB} \times \overline{AC}| = \sqrt{(a-1)^2} = |a-1|) i (S = \frac{1}{2} |a-1|$.

Com es desitja que $S = 3/2$, tenint en compte que el valor absolut presenta dos possibilitats, es té:
$\frac{1}{2} |a-1| = \frac{3}{2} \Rightarrow |a-1| = 3$.

Per tant, dues solucions:
$\frac{1}{2} (a-1) = \frac{3}{2} \Rightarrow a-1 = 3 \Rightarrow a = 4$;
$\frac{1}{2} (-a+1) = \frac{3}{2} \Rightarrow -a+1 = 3 \Rightarrow a = -2$.

Per tant, el triangle té àrea $3/2$ si $a = 4$ o $a = -2$.