Coplanaris i volum tetraedre

Donats els punts $P_1(1, 3, -1)$, $P_2(a, 2, 0)$, $P_3(1, 5, 4)$ i $P_4(2, 0, 2)$, es demana:

a) Troba el valor de $a$ perquè els quatre punts estiguin en el mateix pla.
b) Troba els valors de $a$ perquè el tetraedre amb vèrtexs en $P_1, P_2, P_3, P_4$ tingui un volum igual a 7.

a) Els punts $P_1, P_2, P_3, P_4$ estan en el mateix pla si els vectors $P_1P_2$, $P_1P_3$ i $P_1P_4$ són linealment dependents.

Aquests vectors són:
$P_1P_2 = (a, 2, 0) – (1, 3, -1) = (a-1, -1, 1)$;
$P_1P_3 = (1, 5, 4) – (1, 3, -1) = (0, 2, 5)$;
$P_1P_4 = (2, 0, 2) – (1, 3, -1) = (1, -3, 3)$.

Són linealment dependents quan $\begin{vmatrix} a-1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 5 \\ 1 & -3 & 3 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow 21a – 28 = 0 \Rightarrow a = \frac{4}{3}$.

b) El volum del tetraedre és un sext del producte mixt dels vectors $P_1P_2, P_1P_3$ i $P_1P_4$.

El seu valor és:
$V = \frac{1}{6} |P_1P_2, P_1P_3, P_1P_4| = \frac{1}{6} \begin{vmatrix} a-1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 5 \\ 1 & -3 & 3 \end{vmatrix} = \frac{1}{6} [21a – 21 – 7] = \frac{1}{6} [21a – 28] = 7$.

Dues solucions:
$\frac{1}{6} (21a – 28) = 7 \Rightarrow a = \frac{70}{21} = \frac{10}{3}); o bé, (\frac{1}{6} (-21a + 28) = 7 \Rightarrow a = -\frac{14}{21} = -\frac{2}{3}$.