Problema de Vectors i Àrees

Donats els vectors: $\vec{a} = (2, -1, 4)$ i $\vec{b} = (0, 3, \lambda)$, on $\lambda \in \mathbb{R}$. a) Troba el valor de $\lambda$ perquè $\vec{a}$ i $\vec{b}$ siguin ortogonals. b) Per a $\lambda = 0$ calcula l’àrea del paral·lelogram que tinguin per costats els vectors $\vec{a}$ i $\vec{b}$.

a) Els vectors són ortogonals quan el seu producte escalar val 0.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2, -1, 4) \cdot (0, 3, \lambda) = -3 + 4\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{3}{4}$.

b) L’àrea del paral·lelogram que determinen els vectors $\vec{a}$ i $\vec{b}$ ve donada pel mòdul del producte vectorial dels vectors $\vec{a} \times \vec{b}$.

Per a $\lambda = 0$, $\vec{b} = (0, 3, 0)$, llavors:

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 2 & -1 & 4 \ 0 & 3 & 0 \end{vmatrix} = (-12, 0, 6) \Rightarrow |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-12)^2 + 6^2} = \sqrt{180}$.

L’àrea del paral·lelogram val $\sqrt{180} \, \text{u}^2$.