Problema de Geometria en l’Espai 3D

Donats els punts $A(1, 2, 1)$, $B(2, 3, 1)$, $C(0, 5, 3)$ i $D(-1, 4, 3)$.

a) Prova que els quatre punts estan en el mateix pla.
b) Demostra que el polígon de vèrtexs consecutius $ABCD$ és un rectangle.
c) Calcula l’àrea d’aquest rectangle.

a) Els quatre punts pertanyeran al mateix pla si els vectors $AB$, $AC$ i $AD$ són linealment dependents.

Aquests vectors són:
$AB = (2, 3, 1) – (1, 2, 1) = (1, 1, 0)$;
$AC = (0, 5, 3) – (1, 2, 1) = (-1, 3, 2)$;
$AD = (-1, 4, 3) – (1, 2, 1) = (-2, 2, 2)$.

Com $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 2 \\ -2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 0$, els vectors són, efectivament, linealment dependents.

b) El quadrilàter serà un rectangle si els vectors $AB$ i $BC$, i $AB$ i $AD$ són perpendiculars.

Per tant, els seus productes escalars han de valer $0$.
Com $AB = (1, 1, 0)$, $BC = (-2, 2, 2)$ i $AD = (-2, 2, 2)$, es té:
$AB \cdot BC = (1, 1, 0) \cdot (-2, 2, 2) = 0$;
$AB \cdot AD = (1, 1, 0) \cdot (-2, 2, 2) = 0$.

Per tant, es tracta d’un rectangle.

c) Per tractar-se d’un rectangle, la seva superfície es calcula multiplicant la seva base per la seva altura.

La base pot ser el mòdul de $AB$; la altura, el mòdul de $AD$.
$|\overline{AB}| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}); (|\overline{AD}| = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12}$.

Per tant,
$S = |\overline{AB}| \cdot |\overline{AD}| = \sqrt{2} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{24} \, \text{u}^2$.

Observació: La superfície també es podria calcular mitjançant el producte vectorial.