Proveïdors i probabilitat

Cada dia, de dilluns a divendres, un lot de components enviat per un primer proveïdor arriba a una instal·lació d’inspecció. Dos dies a la setmana, també arriba un lot d’un segon proveïdor. El 80% de tots els lots del proveïdor 1 són inspeccionats i el 90% dels del proveïdor 2 també ho són. ¿Quina és la probabilitat que, en un dia seleccionat a l’atzar, dos lots siguin inspeccionats? Aquesta pregunta es respondrà suposant que en els dies en què s’inspeccionen dos lots, si el primer lot passa és independent de si el segon també ho fa.

Dades donades:

• Hi ha 5 dies laborables (dilluns a divendres), per tant, cada dia té una probabilitat de \( \frac{1}{5} = 0,2 \).

• Tots els dies arriba un lot del proveïdor 1, i 2 dies a la setmana (de 5) també arriba un lot del proveïdor 2. Això significa:

• Probabilitat que només arribi un lot (només proveïdor 1): \( \frac{3}{5} = 0,6 \). – Probabilitat que arribin dos lots (proveïdor 1 i proveïdor 2): \( \frac{2}{5} = 0,4 \).

• Probabilitat que un lot del proveïdor 1 sigui inspeccionat: \( P(\text{Inspeccionat} | \text{Proveïdor 1}) = 0,8 \).

• Probabilitat que un lot del proveïdor 2 sigui inspeccionat: \( P(\text{Inspeccionat} | \text{Proveïdor 2}) = 0,9 \).

• La inspecció dels lots és independent quan hi ha dos lots.

Objectiu: Calculem la probabilitat que, en un dia seleccionat a l’atzar, dos lots siguin inspeccionats.

Pas 1: Identificar els escenaris

• Escenari 1: Només arriba un lot (del proveïdor 1). Probabilitat: \( 0,6 \). En aquest cas, és impossible que es inspeccionin dos lots, ja que només n’hi ha un.

• Escenari 2: Arriben dos lots (proveïdor 1 i proveïdor 2). Probabilitat: \( 0,4 \). Aquí sí que poden ser inspeccionats dos lots.Com que només es poden inspeccionar dos lots quan n’arriben dos, hem de centrar-nos en l’escenari 2.

Pas 2: Probabilitat que els dos lots siguin inspeccionats (quan arriben dos lots). Quan arriben dos lots:

• Probabilitat que el lot del proveïdor 1 sigui inspeccionat: \( 0,8 \).

• Probabilitat que el lot del proveïdor 2 sigui inspeccionat: \( 0,9 \).

• Com que les inspeccions són independents:\[P(\text{Tots dos inspeccionats}) = P(\text{Inspeccionat} | \text{Proveïdor 1}) \cdot P(\text{Inspeccionat} | \text{Proveïdor 2}) = 0,8 \cdot 0,9 = 0,72\]

Pas 3: Probabilitat total que dos lots siguin inspeccionats. Hem de combinar la probabilitat que arribin dos lots amb la probabilitat que tots dos siguin inspeccionats:\[P(\text{Dos lots inspeccionats}) = P(\text{Arriben dos lots}) \cdot P(\text{Tots dos inspeccionats})\]\[P(\text{Dos lots inspeccionats}) = 0,4 \cdot 0,72 = 0,288\]

Resposta final: La probabilitat que, en un dia seleccionat a l’atzar, dos lots siguin inspeccionats és 0,288 o 28,8%.