Incidència d’una malaltia rara

Només $1$ de cada $1000$ adults pateix una malaltia rara per a la qual s’ha creat una prova de diagnòstic. La prova és tal que quan un individu que realment té la malaltia, un resultat positiu es presentarà en el $99\%$ dels casos, mentre que en individus sense malaltia l’examen serà positiu només en un $2\%$ dels casos. Si es sotmet a prova un individu seleccionat a l’atzar i el resultat és positiu, ¿quina és la probabilitat que l’individu tingui la malaltia?

Aquest problema es pot resoldre utilitzant el teorema de Bayes.

Dades donades:

• Incidència de la malaltia: \( P(M) = \frac{1}{1000} = 0,001 \). Per tant, \( P(\text{no M}) = 1 – P(M) = 0,999 \).

• Sensibilitat de la prova (probabilitat de positiu si té la malaltia): \( P(\text{Positiu} | M) = 0,99 \).

• Especificitat de la prova (probabilitat de negatiu si no té la malaltia) no es dóna directament, però sabem que la probabilitat de fals positiu és \( P(\text{Positiu} | \text{no M}) = 0,02 \).

• Volem trobar: \( P(M | \text{Positiu}) \), la probabilitat que tingui la malaltia donat un resultat positiu.

Teorema de Bayes:\[P(M | \text{Positiu}) = \frac{P(\text{Positiu} | M) \cdot P(M)}{P(\text{Positiu})}\]

Calculem \( P(\text{Positiu}) \):\( P(\text{Positiu}) \) és la probabilitat total d’obtenir un resultat positiu, que pot passar de dues maneres:

1. L’individu té la malaltia i la prova és positiva (veritable positiu).

2. L’individu no té la malaltia, però la prova és positiva (fals positiu).\[P(\text{Positiu}) = P(\text{Positiu} | M) \cdot P(M) + P(\text{Positiu} | \text{no M}) \cdot P(\text{no M})\]Substituint:\[P(\text{Positiu}) = (0,99 \cdot 0,001) + (0,02 \cdot 0,999)\]\[P(\text{Positiu}) = 0,00099 + 0,01998 = 0,02097\]

Calculem \( P(M | \text{Positiu}) \):Ara apliquem el teorema de Bayes:\[P(M | \text{Positiu}) = \frac{P(\text{Positiu} | M) \cdot P(M)}{P(\text{Positiu})}\]\[P(M | \text{Positiu}) = \frac{0,99 \cdot 0,001}{0,02097} = \frac{0,00099}{0,02097}\]\[P(M | \text{Positiu}) \approx 0,04721\]

Resposta final:La probabilitat que l’individu tingui la malaltia, donat un resultat positiu, és aproximadament 0,0472 o 4,72%.