Càlculs orbitals i gravitacionals de Mimas, satèl·lit de Saturn

La massa de Saturn és de $5,69\cdot10^{26}$ kg. Un dels seus satèl·lits, Mimas, té una massa de $3,8\cdot10^{19}$ kg i un radi de $1,96\cdot10^5$ m, i descriu una òrbita pràcticament circular al voltant de Saturn de radi $1,86\cdot10^8$ m. Determineu: 1. El període de revolució de Mimas al voltant de Saturn. 2. El valor de l’acceleració de la gravetat a la superfície de Mimas. 3. La velocitat d’escapament de la superfície de Mimas.

Dada: \( G = 6,67×10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2 \).

1. Període de revolució de Mimas al voltant de Saturn. Utilitzem la tercera llei de Kepler per a òrbites circulars: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}} \] on \( r = 1,86×10⁸ \, \text{m} \), \( M = 5,69×10²⁶ \, \text{kg} \), i \( G = 6,67×10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2 \). Calculem: \[ G M = 6,67×10^{-11} \cdot 5,69×10^{26} = 3,795×10^{16} \, \text{m}^3/\text{s}^2 \] \[ r^3 = (1,86×10⁸)^3 = 6,434×10^{24} \, \text{m}^3 \] \[ \frac{r^3}{G M} = \frac{6,434×10^{24}}{3,795×10^{16}} = 1,695×10^8 \, \text{s}^2 \] \[ T = 2\pi \sqrt{1,695×10^8} = 2\pi \cdot 1,302×10^4 \approx 8,185×10^4 \, \text{s} \] Convertim a hores: \[ T = \frac{8,185×10^4}{3600} \approx 22,74 \, \text{hores} \]

Resposta: El període de revolució de Mimas és d’aproximadament 22,74 hores.

2. Acceleració de la gravetat a la superfície de Mimas. L’acceleració de la gravetat \( g \) es calcula amb: \[ g = \frac{G m}{R^2} \] on \( m = 3,8×10^{19} \, \text{kg} \), \( R = 1,96×10⁵ \, \text{m} \), i \( G = 6,67×10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2 \). Calculem: \[ G m = 6,67×10^{-11} \cdot 3,8×10^{19} = 2,535×10^9 \, \text{N·m}^2/\text{kg} \] \[ R^2 = (1,96×10⁵)^2 = 3,841×10^{10} \, \text{m}^2 \] \[ g = \frac{2,535×10^9}{3,841×10^{10}} \approx 0,066 \, \text{m/s}^2 \]

Resposta: L’acceleració de la gravetat a la superfície de Mimas és d’aproximadament 0,066 m/s².

3. Velocitat d’escapament de la superfície de Mimas. La velocitat d’escapament \( v_e \) es calcula amb: \[ v_e = \sqrt{\frac{2 G m}{R}} \] on \( m = 3,8×10^{19} \, \text{kg} \), \( R = 1,96×10⁵ \, \text{m} \), i \( G = 6,67×10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2 \). Calculem: \[ \frac{2 G m}{R} = \frac{2 \cdot 2,535×10^9}{1,96×10⁵} = 2,587×10^4 \, \text{m}^2/\text{s}^2 \] \[ v_e = \sqrt{2,587×10^4} \approx 161 \, \text{m/s} \]

Resposta: La velocitat d’escapament de la superfície de Mimas és d’aproximadament 161 m/s.