Càlculs sobre l’emissió d’una emissora de FM

Una emissora de FM situada a 15 km de Barcelona transmet amb una potència d’1 kW a una freqüència de 98 MHz. A continuació, es responen les següents preguntes: a) Quants fotons emet durant un segon? b) Quina és la longitud d’ona dels fotons? c) Quant triga la senyal en arribar als oients?

1. Quants fotons emet durant un segon?La potència de l’emissora és de 1 kW = 1000 W, equivalent a 1000 J d’energia emesa per segon (1 W = 1 J/s). L’energia d’un fotó es calcula amb la fórmula:\[E = h \cdot f\]on:- \( h = 6.626 \cdot 10^{-34} \, \text{J·s} \) (constant de Planck),- \( f = 98 \, \text{MHz} = 98 \cdot 10^6 \, \text{Hz} \) (freqüència).Calculem l’energia d’un fotó:\[E = 6.626 \cdot 10^{-34} \cdot 98 \cdot 10^6 = 6.49348 \cdot 10^{-26} \, \text{J}.\]El nombre de fotons emesos per segon (\( N \)) és:\[N = \frac{\text{Energia total}}{\text{Energia per fotó}} = \frac{1000}{6.49348 \cdot 10^{-26}} \approx 1.539 \cdot 10^{28}.\]

Resposta: L’emissora emet aproximadament \( 1.54 \cdot 10^{28} \) fotons per segon.

2. Quina és la longitud d’ona dels fotons?La longitud d’ona (\( \lambda \)) es calcula amb:\[\lambda = \frac{c}{f}\]on:- \( c = 3 \cdot 10^8 \, \text{m/s} \) (velocitat de la llum),- \( f = 98 \cdot 10^6 \, \text{Hz} \).Substituïm:\[\lambda = \frac{3 \cdot 10^8}{98 \cdot 10^6} = \frac{3}{98} \cdot 10^2 \approx 3.061 \, \text{m}.\]

Resposta: La longitud d’ona dels fotons és aproximadament 3.06 m.

3. Quant triga la senyal en arribar als oients? La distància de l’emissora als oients és de 15 km = 15,000 m. La senyal viatja a la velocitat de la llum (\( c = 3 \cdot 10^8 \, \text{m/s} \)). El temps (\( t \)) es calcula amb:\[t = \frac{\text{distància}}{\text{velocitat}} = \frac{15,000}{3 \cdot 10^8} = 5 \cdot 10^{-5} \, \text{s}.\]Convertim a microsegons (\( 1 \, \text{s} = 10^6 \, \mu\text{s} \)):\[5 \cdot 10^{-5} \, \text{s} = 50 \, \mu\text{s}.\]

Resposta: La senyal triga 50 microsegons a arribar als oients.

Resum de respostes:

1. Nombre de fotons: \( 1.54 \cdot 10^{28} \) fotons per segon.

2. Longitud d’ona: 3.06 m.

3. Temps de propagació: 50 microsegons.