una esfera cau en un tub de glicerina

Una esfera d’acer de $0,1$ cm de radi es deixa caure en un tub ple de glicerina. a) Suposant que la força d’arrossegament segueixi la llei de Stokes, quines seran les velocitats límit de l’esfera si la glicerina està a $20$ °C, $40$ °C, $60$ °C i $80$ °C? b) Calculeu el nombre de Reynolds per als quatre casos anteriors. c) És correcte suposar que la força d’arrossegament segueixi la llei de Stokes? Dades: el coeficient de viscositat de la glicerina és $1,30$ Pa·s a $20$ °C, $0,34$ Pa·s a $40$ °C, $0,10$ Pa·s a $60$ °C i $0,036$ Pa·s a 80 °C; la densitat de l’acer és $7,8$ g/cm$^3$ i la densitat de la glicerina és $1,26$ g/cm$^3$.

a) Per a esferes: \[v_L = \frac{2}{9} \frac{R^2}{\eta} g (\rho_s – \rho)\]\[v_L(20°C) = \frac{2}{9} \frac{(0,1 \cdot 10^{-2} \text{ m})^2}{1,3 \text{ Pa·s}} \cdot 9,81 \text{ m/s}^2 (7,800 – 1,260) \text{ kg/m}^3 = 0,011 \text{ m/s}\]\[v_L(40°C) = \frac{2}{9} \frac{(0,1 \cdot 10^{-2} \text{ m})^2}{0,34 \text{ Pa·s}} \cdot 9,81 \text{ m/s}^2 (7,800 – 1,260) \text{ kg/m}^3 = 0,419 \text{ m/s}\]\[v_L(60°C) = \frac{2}{9} \frac{(0,1 \cdot 10^{-2} \text{ m})^2}{0,10 \text{ Pa·s}} \cdot 9,81 \text{ m/s}^2 (7,800 – 1,260) \text{ kg/m}^3 = 1,424 \text{ m/s}\]\[v_L(80°C) = \frac{2}{9} \frac{(0,1 \cdot 10^{-2} \text{ m})^2}{0,036 \text{ Pa·s}} \cdot 9,81 \text{ m/s}^2 (7,800 – 1,260) \text{ kg/m}^3 = 3,956 \text{ m/s}\]

b) Per a esferes: \[N_R = \frac{\rho v R}{\eta}\]\[N_R(20°C) = \frac{\rho v R}{\eta} = \frac{1,260 \text{ kg/m}^3 \cdot 0,011 \text{ m/s} \cdot 0,1 \cdot 10^{-2} \text{ m}}{1,3 \text{ Pa·s}} = 0,106 < 1\]\[N_R(40°C) = \frac{\rho v R}{\eta} = \frac{1,260 \text{ kg/m}^3 \cdot 0,419 \text{ m/s} \cdot 0,1 \cdot 10^{-2} \text{ m}}{0,34 \text{ Pa·s}} = 1,55 > 1\]\[N_R(60°C) = \frac{\rho v R}{\eta} = \frac{1,260 \text{ kg/m}^3 \cdot 1,424 \text{ m/s} \cdot 0,1 \cdot 10^{-2} \text{ m}}{0,10 \text{ Pa·s}} = 17,945 > 1\]\[N_R(80°C) = \frac{\rho v R}{\eta} = \frac{1,260 \text{ kg/m}^3 \cdot 3,956 \text{ m/s} \cdot 0,1 \cdot 10^{-2} \text{ m}}{0,036 \text{ Pa·s}} = 138,5 > 1\]

c) A 20 °C \( N_R < 1 \), és correcte aplicar Stokes. A 40 °C, 60 °C i 80 °C \( N_R > 1 \), no és correcte aplicar Stokes.