Propietats dels vectors

Donats els vectors \( \vec{A} = 5\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k} \) i \( \vec{B} = -2\hat{j} + \hat{k} \), calculeu:a) els mòduls, b) el producte escalar i vectorial, c) l’angle format entre ells, d) trobeu un vector unitari perpendicular a \( \vec{A} \) i \( \vec{B} \).

a) \( A = \sqrt{\vec{A} \cdot \vec{A}} = \sqrt{A_x A_x + A_y A_y + A_z A_z} = \sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2} = 5\sqrt{2} \) \( B = \sqrt{\vec{B} \cdot \vec{B}} = \sqrt{B_x B_x + B_y B_y + B_z B_z} = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{5} \)

b) \( \vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z = 5 \cdot 0 + 4 \cdot (-2) + 3 \cdot 1 = -5 \)\[\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\A_x & A_y & A_z \\B_x & B_y & B_z\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\5 & 4 & 3 \\0 & -2 & 1\end{vmatrix} = 10\hat{i} – 5\hat{j} – 10\hat{k}\]

c) A partir del producte escalar, obtenim l’angle entre els vectors: \[\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{AB} = \frac{-5}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} \Rightarrow \theta = 108,4^\circ\]

d) El producte vectorial dona l’expressió d’un vector \( \vec{C} = \vec{A} \times \vec{B} \) perpendicular a \( \vec{A} \) i \( \vec{B} \): \[\vec{C} = \frac{\vec{A} \times \vec{B}}{|\vec{A} \times \vec{B}|} = \frac{10\hat{i} – 5\hat{j} – 10\hat{k}}{\sqrt{10^2 + (-5)^2 + (-10)^2}} = \frac{2}{3}\hat{i} – \frac{1}{3}\hat{j} – \frac{2}{3}\hat{k}\]